Limite irrisolto.

[anonimo.boh]

Oggi, esercitandomi per la prova intercorso di analisi, mi sono ritrovato in questo limite che non riesco ad impostare proprio mi date una mano?

//////// log cot(x/2)
lim x->0 -----------------
//////// /// log x

il risultato è -1.. so che è risolvibile in un passaggio, ma è proprio quella cotangente di x mezzi che mi blocca!
grazie a tutti!

[Lo_zio_Tom]

non sono esperto di risoluzione limiti...magari esistono altri metodi...ma se applichi 2 volte la regola di de l'Hopital si risolve

[francicko]

Dovrebbe essere cosi:
$lim_(x->0)(logcotg(x/2))/(logx)$ $=lim_(x->0)log(1/(tan (x/2)))/(logx)$ $=lim_(x->0)(log(2/x))/(logx)$ $=lim_(x->0)(log2-logx)/(logx) $ $=lim_(x->0)(-logx)/(logx)=-1$
Essendo $tan(x/2)~(x/2)$
x@Ercucchiaio
Prova ad usare le formule per scrivere, basta frapporle tra il simbolo dollaro $.

[anonimo.boh]

"francicko":Dovrebbe essere cosi:
$lim_(x->0)(logcotg(x/2))/(logx)$ $=lim_(x->0)log(1/(tan (x/2)))/(logx)$ $=lim_(x->0)(log(2/x))/(logx)$ $=lim_(x->0)(log2-logx)/(logx) $ $=lim_(x->0)(-logx)/(logx)=-1$
Essendo $tan(x/2)~(x/2)$

Grazie mille francicko! potresti però chiarirmi due passaggi che non mi sono tanto chiari??
1) perchè diciamo che 1 su tangx/2 è 'circa' a x/2?? In modo tale che se dovesse capitarmi esercizi del genere almeno sono preparato! cioè è un concetto che applichiamo quando??
2) perchè log2 lo togliamo?

[francicko]

1)Attenzione, se non ricordo male dalla trigonometria sappiamo che $cotg(t)=1/tang (t)$, nel nostro caso e' $t=x/2$;
2)Dal limite notevole $lim_(t->0)tant/t=1$ deduco circa(asintoticita) $tant~t$;
Da quanto detto sopra deduco $cotg (x/2)=1/tan(x/2)~1/(x/2)=2/x$, inoltre $log2$, lo si può ignorare perché è una quantità finita e quindi trascurabile rispetto ad $logx$, che per $x->0$ va a $-infty $;
Ovviamente per $log (2/x)=log2-logx $ ho usato le ben note proprietà dei logaritmi.
Spero di essermi spiegato in modo chiaro.
In alternativa si può usare Hopital come giustamente asserito da @tommik.

[anonimo.boh]

Grazie mille francisko, chiaro come pochi! Sfrutto questo post per togliermi qualche altro dubbio. Facendo esercizi nella forma indeterminata o*inf mi sono imbattuto in questo : 9x^2 * log x = 0 .. per x che tende a 0+ .. Ma scusate, log x non andrebbe a meno infinito?

[Lo_zio_Tom]

"Ercucchiaio":Grazie mille francisko, chiaro come pochi! Sfrutto questo post per togliermi qualche altro dubbio. Facendo esercizi nella forma indeterminata o*inf mi sono imbattuto in questo : 9x^2 * log x = 0 .. per x che tende a 0+ .. Ma scusate, log x non andrebbe a meno infinito?

infatti! e quindi è indeterminato $rarr 0\cdotoo$

non riesci a scrivere le formule con l'editor, così si capisce qualche cosa di più?

[anonimo.boh]

"tommik":[quote="Ercucchiaio"]Grazie mille francisko, chiaro come pochi! Sfrutto questo post per togliermi qualche altro dubbio. Facendo esercizi nella forma indeterminata o*inf mi sono imbattuto in questo : 9x^2 * log x = 0 .. per x che tende a 0+ .. Ma scusate, log x non andrebbe a meno infinito?

infatti! e quindi è indeterminato $rarr 0\cdotoo$

non riesci a scrivere le formule con l'editor, così si capisce qualche cosa di più?[/quote]

Si scusami, ma questi esercizi mi stanno confondendo! sono guidati ma non mi spiega passo passo, ma tipo questo perchè esce 0?

$lim xrarr 0\ (1-cos3x)/(9x^3) * 9x^2 * logx = 0$
e sottolinea sotto perchè 1/2 * 0 = 0.. ma non è 1/2 * 0 * - inf?

[francicko]

Scusa l'esercizio che hai ora proposto, si richiede nel testo l' uso dei limiti notevoli od anche del teorema di Hopital,
te lo chiedo perche in questo caso $lim_(x->0^+)xlogx=lim_(x->0)(-x^2)/x=0$, e solitamente lo si ricava con l'uso di tale teorema;
Nel tuo caso avresti:
$lim_(x->0)(1-cos(3x))/(3x)^2×lim_(x->0)9xlogx=(1/2)×0=0$

[francicko]

Scusa l'esercizio che hai ora proposto, si richiede nel testo l' uso dei limiti notevoli od anche del teorema di Hopital,
te lo chiedo perche in questo caso $lim_(x->0^+)xlogx=lim_(x->0^+)(-x^2)/x=0$, e solitamente lo si ricava con l'uso di tale teorema;
Nel tuo caso avresti:
$lim_(x->0)(1-cos(3x))/(3x)^2×lim_(x->0^+)9xlogx=(1/2)×0=0$

[anonimo.boh]

Solo i limiti notevoli, le derivate ancora non le abbiamo studiate..! per questo non mi capacito, ci avrò perso ore per capire il motivo attraverso qualche manipolazione ma nulla..!

[francicko]

$lim_(x->0^+)xlogx$, ponendo $t=|logx|$, e scrivendo nella forma $x=e^(-|logx|)=e^(-t)$, possiamo riscrivere il limite come:
$lim_(t->infty) txxe^(-t)$ $=lim_(t->infty)t/e^t$, ed essendo che l'esponenziale a denominatore va ad infinito piu velocemente del numeratore il risultato del limite e' $0$

[francicko]

Scusate, e' per caso errata la risposta che ho scritto nell'ultimo post sopra?
Qualcuno può controllare?
Grazie!