Limite... irrisolto!
Salve ragazzi... c'è questo limite che non riesco a risolvere. Sulle dispense da come risultato $ l=e/2 $.
Io credo ci sia un errore all'esponente... ma lascio a voi la parola.
$ lim_(x -> 1) (sqrtx-1)/(e^x-e)((x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1))^((x-1)/(1-cos(1-x)) $
sono quasi sicuro che il primo fattore vada a $ 1/(2e) $ e il secondo fattore vada ad $ 1 $. Il problema resta l'esponente. Potete aiutarmi?
Io credo ci sia un errore all'esponente... ma lascio a voi la parola.
$ lim_(x -> 1) (sqrtx-1)/(e^x-e)((x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1))^((x-1)/(1-cos(1-x)) $
sono quasi sicuro che il primo fattore vada a $ 1/(2e) $ e il secondo fattore vada ad $ 1 $. Il problema resta l'esponente. Potete aiutarmi?
Risposte
Probabilmente ho capito... la seconda parentesi da in realtà una forma di indecisione: $ 1^oo $! Forse scrivendola in maniera diversa posso liberarmene...
Nessuno che mi aiuta?! Ho cercato di scrivere il secondo termine come
$ lim_(x -> 1) f(x)^g(x)=lim_(x -> 1)e^(g(x)logf(x))=e^(lim_(x -> 1)g(x)logf(x) $
ma non riesco a metterci mano...
$ lim_(x -> 1) f(x)^g(x)=lim_(x -> 1)e^(g(x)logf(x))=e^(lim_(x -> 1)g(x)logf(x) $
ma non riesco a metterci mano...
$(x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1)=(x^2-2x+1+e^(x-1)-1)/(e^(x-1)-1)=((x-1)^2+e^(x-1)-1)/(e^(x-1)-1)=(x-1)+1=x$
Da qui ti rimane:
$x^((x-1)/(1-cos(1-x))$
Aggiungi e sottrai $1$ alla base:
$(1+(x-1))^((x-1)/(1-cos(1-x))$
Moltiplica e dividi l'esponente per $(x-1)$:
$(1+(x-1))^((1/(x-1))*(x-1)^2/(1-cos(x-1)))$
Ti viene:
$e^((x-1)^2/(1-cos(1-x))$
Da qui dovresti saper fare anche da te.
Da qui ti rimane:
$x^((x-1)/(1-cos(1-x))$
Aggiungi e sottrai $1$ alla base:
$(1+(x-1))^((x-1)/(1-cos(1-x))$
Moltiplica e dividi l'esponente per $(x-1)$:
$(1+(x-1))^((1/(x-1))*(x-1)^2/(1-cos(x-1)))$
Ti viene:
$e^((x-1)^2/(1-cos(1-x))$
Da qui dovresti saper fare anche da te.
Se non sbaglio dovrebbe essere cosi:
$(e^(x-1)+x^2-2x)/(e^(x-1)-1) $ $=(e^(x-1)-1+1-2x+x^2)/(e^(x-1)-1)$ $ (e^(x-1)-1)/(e^(x-1)-1)+(x-1)^2/(e^(x-1)-1)$ $=1+(x-1)^2/(e^(x-1)-1) $, ed essendo $lim_(x->1)(x-1)^2/(e^(x-1)-1)=lim(x-1)×lim ((x-1)/(e^(x-1)-1)$ $=lim (x-1)×1=0$,
a questo punto sostituendo il nostro limite diventa:
$lim_(x->1)(1+(x-1))^(1/(1-cos(1-x)))$ $lim_(x->1)(1+(x-1))^((x-1)×(x-1)/(1-cos (x-1)))$ $=lim_(x->1)((1+(x-1))^((x-1)×(x-1)/(1-cos (x-1))$, ed avendosi ancora $lim_(x->1)(x-1)/(1-cos (x-1))=2$, si ha:
$lim ((1+(x-1))^(x-1))^2=e^2$, ritornando al limite principale si ottiene:
$(1/(2e))×e^2=e/2$
x@Vulplasir.
Scusa ma non ho capito il tuoi passaggi:
$lim_(x->1)(x^2-2x+e^(x-1))/(e^x-1)$ $=lim(x^2-2x+1+x-1)/(1+x-1-1)$ $=limx×(x-1)/(x-1)$ $=limx $
essendo $e^(x-1)~1+(x-1)=x $
quindi il limite diventa $lim_(x->1)(x)^(1/(1-cosx))=e^2$, ed aggiungendo e sottraendo $1$ alla base si ha $lim_(x->1)(1+x-1)^(1/(1-cos (x-1))$ mi sbaglio?
$(e^(x-1)+x^2-2x)/(e^(x-1)-1) $ $=(e^(x-1)-1+1-2x+x^2)/(e^(x-1)-1)$ $ (e^(x-1)-1)/(e^(x-1)-1)+(x-1)^2/(e^(x-1)-1)$ $=1+(x-1)^2/(e^(x-1)-1) $, ed essendo $lim_(x->1)(x-1)^2/(e^(x-1)-1)=lim(x-1)×lim ((x-1)/(e^(x-1)-1)$ $=lim (x-1)×1=0$,
a questo punto sostituendo il nostro limite diventa:
$lim_(x->1)(1+(x-1))^(1/(1-cos(1-x)))$ $lim_(x->1)(1+(x-1))^((x-1)×(x-1)/(1-cos (x-1)))$ $=lim_(x->1)((1+(x-1))^((x-1)×(x-1)/(1-cos (x-1))$, ed avendosi ancora $lim_(x->1)(x-1)/(1-cos (x-1))=2$, si ha:
$lim ((1+(x-1))^(x-1))^2=e^2$, ritornando al limite principale si ottiene:
$(1/(2e))×e^2=e/2$
x@Vulplasir.
Scusa ma non ho capito il tuoi passaggi:
$lim_(x->1)(x^2-2x+e^(x-1))/(e^x-1)$ $=lim(x^2-2x+1+x-1)/(1+x-1-1)$ $=limx×(x-1)/(x-1)$ $=limx $
essendo $e^(x-1)~1+(x-1)=x $
quindi il limite diventa $lim_(x->1)(x)^(1/(1-cosx))=e^2$, ed aggiungendo e sottraendo $1$ alla base si ha $lim_(x->1)(1+x-1)^(1/(1-cos (x-1))$ mi sbaglio?
Ragazzi, innanzitutto grazie per le risposte a tutti... credo di esserne venuto a capo! Scritto il limite nella forma:
$ lim_(x -> 1) f(x)^g(x)=lim_(x -> 1)e^(g(x)logf(x))=e^(lim_(x -> 1)g(x)logf(x) $
si ha quindi:
$ lim_(x -> 1) e^((x-1)/(1-cos(1-x))log(x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1)) $
Ci basta quindi studiare il comportamento dell'esponente.
Abbiamo, sommando e sottraendo uno al numeratore dell'argomento del logaritmo:
$ lim_(x -> 1) (x-1)/(1-cos(1-x))log[1+ (x-1)^2/(e^(x-1)-1)] $
Notando che $ y= (x-1)^2/(e^(x-1)-1) -> 0 $ quando $ x -> 1 $ possiamo ricondurci al limite notevole $ lim_(y -> 0) log(1+y)/y = 0 $. Moltiplicando e dividendo, dunque, per $ y= (x-1)^2/(e^(x-1)-1) $ si ha:
$ lim_(x -> 1) (x-1)/(e^(x-1)-1)\cdot (x-1)^2/(1-cos(1-x))\cdot (log[1+ (x-1)^2/(e^(x-1)-1)])/((x-1)^2/(e^(x-1)-1)) $
Adesso, il primo fattore tende ad $1$, il secondo fattore tende a $2$ (il coseno è una funzione pari) ed il terzo fattore tende ad $1$. Per cui il limite fa $l=e^2$ e ricordando, poi, che il primo termine andava ad $l=1/(2e)$ e ricordando ancora che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti si ha che:
$ lim_(x -> 1) (sqrtx-1)/(e^x-e)((x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1))^((x-1)/(1-cos(1-x)) $ $ = e/2 $
$ lim_(x -> 1) f(x)^g(x)=lim_(x -> 1)e^(g(x)logf(x))=e^(lim_(x -> 1)g(x)logf(x) $
si ha quindi:
$ lim_(x -> 1) e^((x-1)/(1-cos(1-x))log(x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1)) $
Ci basta quindi studiare il comportamento dell'esponente.
Abbiamo, sommando e sottraendo uno al numeratore dell'argomento del logaritmo:
$ lim_(x -> 1) (x-1)/(1-cos(1-x))log[1+ (x-1)^2/(e^(x-1)-1)] $
Notando che $ y= (x-1)^2/(e^(x-1)-1) -> 0 $ quando $ x -> 1 $ possiamo ricondurci al limite notevole $ lim_(y -> 0) log(1+y)/y = 0 $. Moltiplicando e dividendo, dunque, per $ y= (x-1)^2/(e^(x-1)-1) $ si ha:
$ lim_(x -> 1) (x-1)/(e^(x-1)-1)\cdot (x-1)^2/(1-cos(1-x))\cdot (log[1+ (x-1)^2/(e^(x-1)-1)])/((x-1)^2/(e^(x-1)-1)) $
Adesso, il primo fattore tende ad $1$, il secondo fattore tende a $2$ (il coseno è una funzione pari) ed il terzo fattore tende ad $1$. Per cui il limite fa $l=e^2$ e ricordando, poi, che il primo termine andava ad $l=1/(2e)$ e ricordando ancora che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti si ha che:
$ lim_(x -> 1) (sqrtx-1)/(e^x-e)((x^2-2x+e^(x-1))/(e^(x-1)-1))^((x-1)/(1-cos(1-x)) $ $ = e/2 $
Con la sostituzione: $z=x-1$ diventa un limite per $z to 0$ in cui si può fare riferimento in modo abbastanza facile e veloce ad alcuni limiti notevoli, mi pare.
"Palliit":
Con la sostituzione: $z=x-1$ diventa un limite per $z to 0$ in cui si può fare riferimento in modo abbastanza facile e veloce ad alcuni limiti notevoli, mi pare.
Assolutamente sì... il procedimento è lo stesso. Forse si fa qualche conto in meno.
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