Limite irrazionale_ svolgimento:
Salve;
volevo porvi una domanda su un semplice limite irrazionale. $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))$
dovrei calcolare l'asintoto obliquo di questa funzione.
$lim_(x to +infty) (f(x))/(x)$ cioè $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))* 1/x$
come potrei procedere....
è la prima volta che mi imbatto in un limite di questo tipo...
grazie
cordiali saluti.
volevo porvi una domanda su un semplice limite irrazionale. $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))$
dovrei calcolare l'asintoto obliquo di questa funzione.
$lim_(x to +infty) (f(x))/(x)$ cioè $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))* 1/x$
come potrei procedere....
è la prima volta che mi imbatto in un limite di questo tipo...
grazie
cordiali saluti.
Risposte
Quando porti $x$ dentro la radice cubica lo elevi alla terza, e quindi $m=3$.....
"regim":
Quando porti $x$ dentro la radice cubica lo elevi alla terza, e quindi $m=3$.....
cioè ??
$^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))* 1/x$ $-> $
$^3sqrt[(27x^4-5x)/(x^3(x-7)] $ così ??
Suggerisco un altro metodo risolutivo:
$root(3)[(27x^4-5x)/(x-7)]*1/x=root(3){(27x^4(1-5/(27x^3)))/[x(1-7/x)]}*1/x=(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}$
$root(3)[(27x^4-5x)/(x-7)]*1/x=root(3){(27x^4(1-5/(27x^3)))/[x(1-7/x)]}*1/x=(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}$
"Gi8":
Suggerisco un altro metodo risolutivo:
$root(3)[(27x^4-5x)/(x-7)]*1/x=root(3){(27x^4(1-5/(27x^3)))/[x(1-7/x)]}*1/x=(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}$
a questo punto, potrei "eliminare la radice " o no ??
diciamo per arrivare a 3..
"mat100":
[quote="Gi8"]Suggerisco un altro metodo risolutivo:
$root(3)[(27x^4-5x)/(x-7)]*1/x=root(3){(27x^4(1-5/(27x^3)))/[x(1-7/x)]}*1/x=(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}$
a questo punto, potrei "eliminare la radice " o no ??
diciamo per arrivare a 3..
[/quote]Semplicemente viene:
$lim_(x->+infty)(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}=$
$=lim_(x->+infty)3root(3){x/x}=3root(3)1=3*1=3$
Non è che "elimini" la radice, ma scrivi il suo valore
Se ad esempio veniva qualcosa tipo:
$lim_(x->+infty)(5x)/(2x)root(3){[3x(1-5/(x))]/[4x(1+2/x)]}$
il risultato era: $5/2root(3){3/4}$
"leena":
[quote="mat100"][quote="Gi8"]Suggerisco un altro metodo risolutivo:
$root(3)[(27x^4-5x)/(x-7)]*1/x=root(3){(27x^4(1-5/(27x^3)))/[x(1-7/x)]}*1/x=(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}$
a questo punto, potrei "eliminare la radice " o no ??
diciamo per arrivare a 3..
[/quote]Semplicemente viene:
$lim_(x->+infty)(3x)/xroot(3){[x(1-5/(27x^3))]/[x(1-7/x)]}=$
$=lim_(x->+infty)3root(3){x/x}=3root(3)1=3*1=3$
Non è che "elimini" la radice, ma scrivi il suo valore
Se ad esempio veniva qualcosa tipo:
$lim_(x->+infty)(5x)/(2x)root(3){[3x(1-5/(x))]/[4x(1+2/x)]}$
il risultato era: $5/2root(3){3/4}$[/quote]
l'importante diciamo è sempre mettere in evidenza le x per ricondurci a forme più compatte .....
edit: per limiti con la radice ed una funzione da sommare o da sottrarre tipo $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))-3x$ per prendere nello specifico l'esercizio.....
come si usa procedere in genere.....
prima m.c.m .... o cercare di togliere eventuali forme di indeterminazione derivando???
grazie dei chiarimenti.... come al solito a dir poco utilissimi
"mat100":
per limiti con la radice ed una costante tipo $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))-3x$ per prendere nello specifico l'esercizio.....
come si usa procedere in genere.....
prima m.c.m .... o cercare di togliere eventuali forme di indeterminazione derivando???
Penso che intendi sempre un limite del genere...
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Devi prima utilizzare la razionalizzazione per eliminare la forma indeterminata $infty - infty$
PS. per la radice n-esima basta scrivere root(n) al posto di sqrt!
"leena":
[quote="mat100"]per limiti con la radice ed una costante tipo $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))-3x$ per prendere nello specifico l'esercizio.....
come si usa procedere in genere.....
prima m.c.m .... o cercare di togliere eventuali forme di indeterminazione derivando???
Penso che intendi sempre un limite del genere...
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Devi prima utilizzare la razionalizzazione per eliminare la forma indeterminata $infty - infty$
PS. per la radice n-esima basta scrivere root(n) al posto di sqrt!
[/quote] thankx.avresti link riguardo la razionalizazzione??..... cioè in questo caso non c'è numeratore e denominatore ma bensì un intera espressione sotto radice... come si prosegue ?
Riporto un caso più semplice, giusto per capirci meglio:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
Moltiplichiamo e dividiamo per $root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2$
cioè si ha:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)=$
$=lim_(x->infty)((root(3)(x^3-1)-2x)*(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2))/(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)=$
$=lim_(x->infty)(x^3-1-8x^3)/(root(3)(x^6-2x^3+1)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)$
Così ora si è tornati alla forma indeterminata $infty/infty$
Quindi basta fare i calcoli a numeratore e mettere in evidenza il grado maggiore sia a numeratore che a denominatore e si ottiene il risultato.
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
Moltiplichiamo e dividiamo per $root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2$
cioè si ha:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)=$
$=lim_(x->infty)((root(3)(x^3-1)-2x)*(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2))/(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)=$
$=lim_(x->infty)(x^3-1-8x^3)/(root(3)(x^6-2x^3+1)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)$
Così ora si è tornati alla forma indeterminata $infty/infty$
Quindi basta fare i calcoli a numeratore e mettere in evidenza il grado maggiore sia a numeratore che a denominatore e si ottiene il risultato.
"leena":
Riporto un caso più semplice, giusto per capirci meglio:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
Moltiplichiamo e dividiamo per $root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2$
cioè si ha:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)=$
$=lim_(x->infty)((root(3)(x^3-1)-2x)*(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2))/(root(3)((x^3-1)^2)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)=$
$=lim_(x->infty)(x^3-1-8x^3)/(root(3)(x^6-2x^3+1)+2xroot(3)(x^3-1)+4x^2)$
Così ora si è tornati alla forma indeterminata $infty/infty$
Quindi basta fare i calcoli a numeratore e mettere in evidenza il grado maggiore sia a numeratore che a denominatore e si ottiene il risultato.
vero questa formula è utilissima per le radici cubiche.... ma non ho capito una cosa:
$a^3-b^3$ io non lo vedo sotto forma di espressione.....; vabè proseguo... $a=1$ e $b=-2$
quindi $(1-2) (1^2-2+4)$ ....
"mat100":
$a^3-b^3$ io non lo vedo sotto forma di espressione.....;
Scusami non ho capito cosa intendi dire..
"leena":
[quote="mat100"]$a^3-b^3$ io non lo vedo sotto forma di espressione.....;
Scusami non ho capito cosa intendi dire..[/quote]
come vedi hai scritto sfruttiamo la formula $(a^3-b^3)= (a^2+ab+b^2)$
ma in che modo sfruttiamo questa formula ?
...chi è $a-b$ in questo caso ?
Noi abbiamo:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
$root(3)(x^3-1)-2x=a-b$
Cioè:
$a=root(3)(x^3-1)$
$b=2x$
Ti trovi?
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
$root(3)(x^3-1)-2x=a-b$
Cioè:
$a=root(3)(x^3-1)$
$b=2x$
Ti trovi?
"leena":
Noi abbiamo:
$lim_(x->infty)(root(3)(x^3-1)-2x)$
Sfruttiamo la formula:
$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
per togliere la radice...
$root(3)(x^3-1)-2x=a-b$
Cioè:
$a=root(3)(x^3-1)$
$b=2x$
Ti trovi?
ora si
, siccome per $a$ pensavo fosse il coefficiente della x di grado massimo ... capisci ?invece è $root(3) (x^3-1) $.
"leena":
[quote="mat100"]per limiti con la radice ed una costante tipo $^3sqrt((27x^4-5x)/(x-7))-3x$ per prendere nello specifico l'esercizio.....
come si usa procedere in genere.....
prima m.c.m .... o cercare di togliere eventuali forme di indeterminazione derivando???
Penso che intendi sempre un limite del genere...
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Devi prima utilizzare la razionalizzazione per eliminare la forma indeterminata $infty - infty$
PS. per la radice n-esima basta scrivere root(n) al posto di sqrt!
[/quote]ho capito l'esempio da te postato.ok...
ma
ritornando al limite dell'esercizio.... c'è una frazione di mezzo.... cioè diventa $root(3) (27x^4-8x)/(x-7) $ ???
grazie dei chiarimenti....
Ora $a=root(3) (27x^4-8x)/(x-7) $
"leena":
Ora $a=root(3) (27x^4-8x)/(x-7) $
ehm...
adesso manca b ;non ci sono altre funzioni... a meno che non le vedo io
E' questo il tuo limite
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Secondo te chi è b in questo caso?
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Secondo te chi è b in questo caso?
"leena":
E' questo il tuo limite
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$
Secondo te chi è b in questo caso?
sorrry,,,,,,
si si... cmq $3x$... ma prima di ciò questo $3x$... come entra sotto radice ???.... è questa la domanda....
io prima ho provato e l'ho messo al numeratore... ma non so se è formalmente corretto; infatti come puoi notare ho scritto $8x$ dalla somma.
mi avresti dovuto chiedere: sia $lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-8x)/(x-7)))$
dovè $b$ ? io chiedevo da quì non dal limite nella forma iniziale ,,,
se facciamo confusione...può darsi che diciamo cose corrette ma in altri modi...
... ho ripassato le razionalizzazioni .... dalla teoria...
ora mi è un pò più chiaro il tutto....
scusate il doppio post:
ma in questo caso la razionalizzazione con un intera frazione sotto radice con quale formula si effettua:
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$ leena ha cercato di farmi l'esempio e l'ho capito... ma nello specifico dell'esercizio non riesco ad arrivare al risultato che se non erro dovrebbe essere $7$
help...
ma in questo caso la razionalizzazione con un intera frazione sotto radice con quale formula si effettua:
$lim_(x->infty)(root(3)((27x^4-5x)/(x-7))-3x)$ leena ha cercato di farmi l'esempio e l'ho capito... ma nello specifico dell'esercizio non riesco ad arrivare al risultato che se non erro dovrebbe essere $7$
help...
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