Limite irrazionale.
salve.
desideravo qualora possibile un suggerimento per questo banalissimo limite...
$ lim_(x to 0) (root()(9+x)-3)/(x)$ ovviamente abbiamo una forma indeterminata $0/0$ che dovremmo "eliminare":
Volevo procedere razionalizzando il numeratore... ma sono all'inizio di questi esercizi con le radici "razionalizzazioni"ecc
e quindi commetto molti errori:
un passo alla volta
....
$ lim_(x to 0) (root()(9+x)-3)/(x)= lim_(x to 0) (root()(9+x)-3*root()(9+x))/(x *root()(9+x))$
procedo bene ??
desideravo qualora possibile un suggerimento per questo banalissimo limite...
$ lim_(x to 0) (root()(9+x)-3)/(x)$ ovviamente abbiamo una forma indeterminata $0/0$ che dovremmo "eliminare":
Volevo procedere razionalizzando il numeratore... ma sono all'inizio di questi esercizi con le radici "razionalizzazioni"ecc
e quindi commetto molti errori:
un passo alla volta
....$ lim_(x to 0) (root()(9+x)-3)/(x)= lim_(x to 0) (root()(9+x)-3*root()(9+x))/(x *root()(9+x))$
procedo bene ??
Risposte
Mmm ... Qui la via più veloce è, come hai detto tu, razionalizzare, ma secondo me è errato per cosa moltiplichi il numeratore e il denominatore.
Io moltiplicherei il numeratore e il denominatore per $sqrt(9+x) + 3$ riportandomi alla forma $ (a+b) * (a-b) = a^2-b^2 $, in modo da eliminare la radice dal numeratore:
$lim_(x->0) ((sqrt(9+x) -3) * (sqrt(9+x) +3)) / (x*(sqrt(9+x) +3))$
La strategia risolutiva nella maggior parte di questi casi è razionalizzare cercando di togliere la radice dal numeratore: una volta fatto ciò, come avviene in questo caso, ci siamo tolti dalla situazione di limite $0/0$ entrando in un limite banale.
Io moltiplicherei il numeratore e il denominatore per $sqrt(9+x) + 3$ riportandomi alla forma $ (a+b) * (a-b) = a^2-b^2 $, in modo da eliminare la radice dal numeratore:
$lim_(x->0) ((sqrt(9+x) -3) * (sqrt(9+x) +3)) / (x*(sqrt(9+x) +3))$
La strategia risolutiva nella maggior parte di questi casi è razionalizzare cercando di togliere la radice dal numeratore: una volta fatto ciò, come avviene in questo caso, ci siamo tolti dalla situazione di limite $0/0$ entrando in un limite banale.
"Auron":
Mmm ... Qui la via più veloce è, come hai detto tu, razionalizzare, ma secondo me è errato per cosa moltiplichi il numeratore e il denominatore.
Io moltiplicherei il numeratore e il denominatore per $sqrt(9+x) + 3$ riportandomi alla forma $ (a+b) * (a-b) = a^2-b^2 $, in modo da eliminare la radice dal numeratore:
$lim_(x->0) ((sqrt(9+x) -3) * (sqrt(9+x) +3)) / (x*(sqrt(9+x) +3))$
La strategia risolutiva nella maggior parte di questi casi è razionalizzare cercando di togliere la radice dal numeratore: una volta fatto ciò, come avviene in questo caso, ci siamo tolti dalla situazione di limite $0/0$ entrando in un limite banale.
a... capito, si deve moltiplicare anche il fattore fuori radice...; pensavo che il $-3$ potesse restar fuori...
ehm... in questo caso al numeratore dovrebbe venire $(9+x-9)$ ??
mentre al denominatore non so come semplificare $x*(sqrt(9+x) +3)$ ....
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ora il tuo limite è diventato
$lim_(x->0) x/[x(sqrt(9+x)+3)]$... Cosa puoi fare ora?
$lim_(x->0) x/[x(sqrt(9+x)+3)]$... Cosa puoi fare ora?
Sfruttando il limite notevole
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]
il risultato sarebbe praticamente immediato.
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]
il risultato sarebbe praticamente immediato.
Allora sopra come hai detto giustamente tu rimane $x$:
$lim_(x->0) x/(x*(sqrt(9+x)+3)) $
A questo punto il limite è risolto.
$lim_(x->0) x/(x*(sqrt(9+x)+3)) $
A questo punto il limite è risolto.
La $x$ del numeratore la semplifichi con quella del denominatore, o no?
$lim_(x->0)((sqrt(9+x)-3)*(sqrt(9+x)+3))/(x*(sqrt(9+x)+3))$
$lim_(x->0)(9+x-9)/(x*(sqrt(9+x)+3))$. Quindi? Continua te. Se hai dubbi scrivi pure.
Ciao.
$lim_(x->0)((sqrt(9+x)-3)*(sqrt(9+x)+3))/(x*(sqrt(9+x)+3))$
$lim_(x->0)(9+x-9)/(x*(sqrt(9+x)+3))$. Quindi? Continua te. Se hai dubbi scrivi pure.
Ciao.
"v.tondi":
La $x$ del numeratore la semplifichi con quella del denominatore, o no?
$lim_(x->0)((sqrt(9+x)-3)*(sqrt(9+x)+3))/(x*(sqrt(9+x)+3))$
$lim_(x->0)(9+x-9)/(x*(sqrt(9+x)+3))$. Quindi? Continua te. Se hai dubbi scrivi pure.
Ciao.
in questa forma con la "semplificazione" tra la x al numeratore e la x al denominatore... onde evitare $0* sqrt$ viene $1/6$
grazie.ps. la forma del limite notevole di k.lomax non l'ho ricondotta con questo limite.... magari anzi sicuramente per mia ineseperienza...
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{3(\sqrt{1+\frac{x}{9}}-1)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\frac{x}{9}}-1}{\frac{x}{3}}=
\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\frac{(1+\frac{x}{9})^{\frac{1}{2}}-1}{\frac{x}{9}}=\frac{1}{6}[/tex]
\lim_{x\to 0}\frac{1}{3}\frac{(1+\frac{x}{9})^{\frac{1}{2}}-1}{\frac{x}{9}}=\frac{1}{6}[/tex]
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