Limite interessante (forse^^)
allora mi sono imbattuto nel seguente limite
$lim_(nto+oo) n!*(e^x-sum_(k=0)^(n-1)x^k/(k!))
avete qualche idea sulla risoluzione? forse è più facile di quanto sembri ma l'unica cosa a cui ho pensato è di sfruttare il resto di lagrange però non ne sono sicuro...
$lim_(nto+oo) n!*(e^x-sum_(k=0)^(n-1)x^k/(k!))
avete qualche idea sulla risoluzione? forse è più facile di quanto sembri ma l'unica cosa a cui ho pensato è di sfruttare il resto di lagrange però non ne sono sicuro...
Risposte
"Covenant":
allora mi sono imbattuto nel seguente limite
$lim_(nto+oo) n!*(e^x-sum_(k=0)^(n-1)x^k/(k!))
avete qualche idea sulla risoluzione? forse è più facile di quanto sembri ma l'unica cosa a cui ho pensato è di sfruttare il resto di lagrange però non ne sono sicuro...
Prendi con le molle quello che ti dico (magari è una corbelleria), però mi sembra che aggiungendo e togliendo l'n-esimo termine della sommatoria sia vera questa cosa: $lim_(nto+oo) n!*(e^x-sum_(k=0)^(n-1)x^k/(k!)) = lim_(nto+oo) n!*(e^x-(sum_(k=0)^(n)x^k/(k!) - x^n/(n!)))
Da cui puoi riconoscere che $lim_(nto+oo)sum_(k=0)^(n)x^k/(k!) = e^x$ da definizione di serie esponenziale, quindi con le dovute semplificazioni il limite si ridurrebbe a $lim_(nto+oo) x^n$, il cui valore dipende ovviamente dal parametro x: con $x<=-1$ non esiste, con $-1
ero arrivato anche io a qualcosa di simile... quindi il limite sembra dipendere da $x$. Tra l'altro nemmeno derive mi viene in aiuto, anzi impazzisce letteralmente con questo limite. Stessa cosa per mathematica.
Comunque con il resto di lagrange ottengo: $ e^x-sum_(k=0)^(n-1) x^k/(k!) = sigma_(n-1) = e^(epsilon_((x))) * x^n/(n!) $ da cui $lim_(nto+oo) n! *(e^x-sum_(k=0)^(n-1) x^k/(k!)) = lim_(nto+oo) e^(epsilon_((x)))*x^n$ dove con $sigma_(n-1)$ ho indicato il resto $n-1$ esimo di lagrange. Ma non so se sia corretto.
Comunque con il resto di lagrange ottengo: $ e^x-sum_(k=0)^(n-1) x^k/(k!) = sigma_(n-1) = e^(epsilon_((x))) * x^n/(n!) $ da cui $lim_(nto+oo) n! *(e^x-sum_(k=0)^(n-1) x^k/(k!)) = lim_(nto+oo) e^(epsilon_((x)))*x^n$ dove con $sigma_(n-1)$ ho indicato il resto $n-1$ esimo di lagrange. Ma non so se sia corretto.
Corretto.
Al posto di $epsilon_x$ ti suggerirei di mettere $theta_(x,n) x$, con $theta_(x,n) \in [0,1]$ (cosicché $epsilon_x=theta_(x,n) x \in [min\{0,x\} ,max\{ 0,x\} ]$): la dipendenza da $n$ va comunque indicata, perchè cambiando l'ordine del termine complementare, potrebbe cambiare il valore di $theta$.
Insomma, tutti sappiamo che il termine complementare della formula di Taylor-McLaurin della funzione esponenziale con centro in $0$ è infinitesimo al crescere di $n$ per ogni scelta di $x$: ciò accade, fondamentalmente, perchè al denominatore c'è un $n!$ che porta tutto a zero.
Probabilmente l'esercizio ti sta chiedendo di stimare come si comporta il solo numeratore del termine complementare al variare di $x$.
Come hai già trovato, puoi scrivere l'argomento del limite come $e^(theta_(x,n)x)*x^n$, in cui hai certamente $01$.
L'idea è un po' bruttina, però.
Al posto di $epsilon_x$ ti suggerirei di mettere $theta_(x,n) x$, con $theta_(x,n) \in [0,1]$ (cosicché $epsilon_x=theta_(x,n) x \in [min\{0,x\} ,max\{ 0,x\} ]$): la dipendenza da $n$ va comunque indicata, perchè cambiando l'ordine del termine complementare, potrebbe cambiare il valore di $theta$.
Insomma, tutti sappiamo che il termine complementare della formula di Taylor-McLaurin della funzione esponenziale con centro in $0$ è infinitesimo al crescere di $n$ per ogni scelta di $x$: ciò accade, fondamentalmente, perchè al denominatore c'è un $n!$ che porta tutto a zero.
Probabilmente l'esercizio ti sta chiedendo di stimare come si comporta il solo numeratore del termine complementare al variare di $x$.
Come hai già trovato, puoi scrivere l'argomento del limite come $e^(theta_(x,n)x)*x^n$, in cui hai certamente $0
L'idea è un po' bruttina, però.