Limite integrale
devo stabilire per quali valori del parametro reale "a" l'integrale converge
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{a}}dx$
il mio problema sorge quando a è diverso da 1
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{a}}dx=\lim_{t \rightarrow \infty}\int_{1}^{t} \frac{1}{x^{a}}dx=\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a}$
se$a < 1 \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a} = infty$
se$a > 1 \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$
ecco a me non quadrano i conti perchè se prendo ad esempio a = 0,988999999.....9 mi esce un risultato che non è infinito e se prendo 1,0000000000.....1 non mi esce $\frac{1}{a-1}$
grazie
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{a}}dx$
il mio problema sorge quando a è diverso da 1
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{a}}dx=\lim_{t \rightarrow \infty}\int_{1}^{t} \frac{1}{x^{a}}dx=\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a}$
se$a < 1 \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a} = infty$
se$a > 1 \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$
ecco a me non quadrano i conti perchè se prendo ad esempio a = 0,988999999.....9 mi esce un risultato che non è infinito e se prendo 1,0000000000.....1 non mi esce $\frac{1}{a-1}$
grazie
Risposte
Se $a=1$ allora $\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x^a}dx=\lim_{t\to\infty}\ln|t|=+\infty$.
Se $a\ne 1$ allora $\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x^a}dx=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a}$.
Ora, se $1-a<0$, cioè se $a>1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=-\frac{1}{1-a}=\frac{1}{a-1}$ perché, essendo l'esponente negativo, $t^{1-a}\to 0$.
Se invece $1-a>0$, cioè se $a<1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=+\infty$ perché $t^{1-a}\to +\infty$, essendo l'esponente positivo.
Spero di aver chiarito qualche dubbio...
Ciao!
Se $a\ne 1$ allora $\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x^a}dx=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}-1}{1-a}$.
Ora, se $1-a<0$, cioè se $a>1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=-\frac{1}{1-a}=\frac{1}{a-1}$ perché, essendo l'esponente negativo, $t^{1-a}\to 0$.
Se invece $1-a>0$, cioè se $a<1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=+\infty$ perché $t^{1-a}\to +\infty$, essendo l'esponente positivo.
"stranamentemate":Nel senso che hai provato con qualche software? In tal caso, beh, sarà dovuto all'errore di approssimazione di macchina.
ecco a me non quadrano i conti perchè se prendo ad esempio a = 0,988999999.....9 mi esce un risultato che non è infinito e se prendo 1,0000000000.....1 non mi esce $\frac{1}{a-1}$
Spero di aver chiarito qualche dubbio...
Ciao!
inanzitutto grazie 
$t^{1-a}\to 0$ a me continua ad uscire una forma indeterminata con del'hopital.
il mio problema è capire come si comporta quando ci sono cifre vicinissime allo 0 ad esponte dell'infinito $infty^+-0,00000000....1$ non riesco appunto a comprendere il suo comportamento nè quando si tratta di valutare il parametro "a" nell'intorno di 1 nè quando a si trova tra 0 e +-1
"DavideGenova":
Ora, se $1-a<0$, cioè se $a>1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=-\frac{1}{1-a}=\frac{1}{a-1}$ perché, essendo l'esponente negativo, $t^{1-a}\to 0$.
$t^{1-a}\to 0$ a me continua ad uscire una forma indeterminata con del'hopital.
"DavideGenova":
Se invece $1-a>0$, cioè se $a<1$, $\lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-a}}{1-a}-\frac{1}{1-a}=+\infty$ perché $t^{1-a}\to +\infty$, essendo l'esponente positivo.
il mio problema è capire come si comporta quando ci sono cifre vicinissime allo 0 ad esponte dell'infinito $infty^+-0,00000000....1$ non riesco appunto a comprendere il suo comportamento nè quando si tratta di valutare il parametro "a" nell'intorno di 1 nè quando a si trova tra 0 e +-1
"stranamentemate":Non serve usare de l'Hôpital: se $b<0$ allora \(\forall\varepsilon>0\quad\exists M:\forall t>M\quad t^b<\varepsilon\), scegliendo per esempio $M=1/\epsilon^{1/|b|}$.
$t^{1-a}\to 0$ a me continua ad uscire una forma indeterminata con del'hopital
"stranamentemate":Mmh... sinceramente non capisco che cosa non ti torni...
il mio problema è capire come si comporta quando ci sono cifre vicinissime allo 0 ad esponte dell'infinito $infty^+-0,00000000....1$ non riesco appunto a comprendere il suo comportamento nè quando si tratta di valutare il parametro "a" nell'intorno di 1 nè quando a si trova tra 0 e +-1
In che modo constati che non ti torna? Hai usato un qualche software? Wolfram alpha?
proverò a riguardare teoria e poi al limite ti contatto ancora in settimana
grazie
grazie
OK: buon ripasso! 
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