Limite insolito

[melli13]

Dimostrare che $lim_(n->+oo) int_0^1 x^n*e^x dx =0$

Mi potete dare qualche suggerimento? qui non so da dove iniziare...anche perchè è la $n$ che tende a infinito, non $x$

[Sk_Anonymous]

O usi il teorema della convergenza dominata oppure noti che, per il teorema della media integrale \(\displaystyle \exists \; \xi \in [0,1] \) t.c. \[\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} e^x \; dx = \xi^n e^{\xi} \]
Ne segue una "scrematura" dei vari casi (se fosse \(\displaystyle \xi=1 \) allora...).

[gugo82]

Idea più cheap... La funzione \(e^x\) è positiva e limitata dall'alto in \([0,1]\), dunque:
\[
0\leq \int_0^1 x^n\ e^x\ \text{d} x\leq \sup_{x\in [0,1]} e^x\ \int_0^1 x^n\ \text{d} x=\cdots
\]

[melli13]

@Delirium: Applicando il teorema della media integrale vedo che per $0<=xi<1$ il limite viene $0$, ma per $xi=1$ $lim_(n->+oo) xi^n*e^xi=e$ no? Quindi cosa concludo?

@gugo82:...$=$sup$_(x in [0,1]) e^x*1/(n+1)$ che tende a $0$ per $n->+oo$ e quindi quel limite fa $0$.. Grazie....bella idea..!!

[Sk_Anonymous]

"melli13":@Delirium: Applicando il teorema della media integrale vedo che per $0<=xi<1$ il limite viene $0$, ma per $xi=1$ $lim_(n->+oo) xi^n*e^xi=e$ no? Quindi cosa concludo? [...]

Se \(\displaystyle x \in [0,1) \) e \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \smallsetminus \{0\} \) allora vale per ovvi motivi \[\displaystyle 0 \le x^{n} e^{x} < e^{x} \] e si ha \(\displaystyle x^{n}e^x = e^x \) sse \(\displaystyle x=1 \). Questo implica direttamente che l'area sottesa da \(\displaystyle x^{n} e^{x} \) in \(\displaystyle [0,1] \) non può essere uguale all'area sottesa da \(\displaystyle e^x \). Più formalmente, dev'essere \[\displaystyle 0<\int_{0}^{1} x^n e^x \; dx < \int_{0}^{1} e^{x} \; dx=e-1 \] e quindi se ne conclude che \(\displaystyle \xi <1 \) (altrimenti sarebbe \(\displaystyle \int_{0}^1 x^n e^x \; dx = 1^n e^1 = e < e-1 \), il che è assurdo).

[melli13]

Ah grazie.....