Limite infinito per x che tende ad un valore finito.
Salve qualche tempo fa il mio professore ha svolto questo limite in classe:
[tex]\lim_{x\to0}{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}}=+\infty[/tex]
applicando la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito:
[tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}>K[/tex]
e cominciando a svolgere la disequazione:
[tex]\frac{1}{x^{2}}<\log_{\frac{1}{2}}{K}[/tex]
a questo punto il professore dice che è una disequazione impossibile da risolvere poichè [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] è sempre positiva, mentre [tex]\log_{\frac{1}{2}}{K}[/tex] e una funzione negativa.
Chiedo io, ma [tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex] non da sempre un valore compreso nell' intervallo (0, 1) estremi esclusi, per qualunque x do
all' esponenente. Inoltre dato che sono nell' intorno di zero, e dato che devo prendere i valori di x in un intorno molto piccolo, i valori che andrà ad assumere la x saranno compresi nell' intervallo (-1,1) con zero escluso ed estremi esclusi.
Quindi affinche [tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}>K[/tex] sia rispettata, K deve assumere valori nel intervallo (0,1) estremi esclusi. Perciò l' argomento del logaritmo è un valore frazionario, e dato che il logaritmo ha una base "minore di uno e maggiore di zero", il valore del logaritmo è positivo. Quindi la disequazione è rispettata in realtà, no?
[tex]\lim_{x\to0}{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}}=+\infty[/tex]
applicando la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito:
[tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}>K[/tex]
e cominciando a svolgere la disequazione:
[tex]\frac{1}{x^{2}}<\log_{\frac{1}{2}}{K}[/tex]
a questo punto il professore dice che è una disequazione impossibile da risolvere poichè [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex] è sempre positiva, mentre [tex]\log_{\frac{1}{2}}{K}[/tex] e una funzione negativa.
Chiedo io, ma [tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}[/tex] non da sempre un valore compreso nell' intervallo (0, 1) estremi esclusi, per qualunque x do
all' esponenente. Inoltre dato che sono nell' intorno di zero, e dato che devo prendere i valori di x in un intorno molto piccolo, i valori che andrà ad assumere la x saranno compresi nell' intervallo (-1,1) con zero escluso ed estremi esclusi.
Quindi affinche [tex](\frac{1}{2})^{\frac{1}{x^{2}}}>K[/tex] sia rispettata, K deve assumere valori nel intervallo (0,1) estremi esclusi. Perciò l' argomento del logaritmo è un valore frazionario, e dato che il logaritmo ha una base "minore di uno e maggiore di zero", il valore del logaritmo è positivo. Quindi la disequazione è rispettata in realtà, no?
Risposte
Partiamo dal fatto che il risultato del limite non è quello riportato[nota]Infatti, il limite assegnato è \(0\), non \(+\infty\).[/nota]; quindi, molto probabilmente, questo esempio serviva a farvi vedere come dalla definizione di limite potevi accorgerti che qualcosa non andava nel risultato del limite stesso.
In altre parole, il fatto che tu non possa risolvere la disequazione \(1/x^2 < \log_{1/2} K\) (e dunque non possa isolare tra le soluzioni della disequazione un intorno di \(0\)) deve segnalarti che c'è qualcosa che non va nel risultato del limite che hai ipotizzato e deve spingerti a ripensare il modo in cui quel risultato l'hai ottenuto.
In altre parole, il fatto che tu non possa risolvere la disequazione \(1/x^2 < \log_{1/2} K\) (e dunque non possa isolare tra le soluzioni della disequazione un intorno di \(0\)) deve segnalarti che c'è qualcosa che non va nel risultato del limite che hai ipotizzato e deve spingerti a ripensare il modo in cui quel risultato l'hai ottenuto.
quindi stai dicendo che stai considerando fin dall' inizio K un valore molto grande e maggiore di 1?
Ma certo... Anche perché questo è lo "spirito" della definizione che stai usando.
Quando vuoi verificare che:
\[
\forall K>0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]-\delta, \delta[\setminus \{0\},\ \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2}>K
\]
è chiaro che devi pensare \(K\) positivo e "grande"; ma questo è vero in generale nel caso di limite \(=+\infty\).
Analogamente, quando vuoi verificare che:
\[
\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2} =0
\]
mostrando che vale la definizione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]-\delta , \delta[\setminus \{0\},\ \left| \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2}\right|<\varepsilon
\]
è chiaro che devi pensare \(\varepsilon\) positivo e "piccolo"; e ciò è vero nel caso generale della definizione di limite \(=l\) finito.
Quando vuoi verificare che:
\[
\forall K>0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]-\delta, \delta[\setminus \{0\},\ \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2}>K
\]
è chiaro che devi pensare \(K\) positivo e "grande"; ma questo è vero in generale nel caso di limite \(=+\infty\).
Analogamente, quando vuoi verificare che:
\[
\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2} =0
\]
mostrando che vale la definizione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in ]-\delta , \delta[\setminus \{0\},\ \left| \left(\frac{1}{2}\right)^{1/x^2}\right|<\varepsilon
\]
è chiaro che devi pensare \(\varepsilon\) positivo e "piccolo"; e ciò è vero nel caso generale della definizione di limite \(=l\) finito.
Salve, quindi è logico pensare che devo scegliere M molto grande poichè devo prendere in considerazione i valori delle x che sono contenute in un intorno molto piccolo di [tex]x_0[/tex] e questo lo posso fare solo se prendo M molto grande.
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