Limite infinitesimo

[frev]

Ciao ragazzi,vorrei chiedervi un aiuto su questo limite:

$lim_(x->0)(xe^x-sin(x))/(1-cos(2x))$

Ho provato a risolverlo pensando che $(xe^x-sin(x))/(1-cos(2x))$ sia asintotica per $x->0$ a $(-sin(x))/(-cos(2x))$ e quindi

ho che essendo infinitesimi dello stesso ordine il limite è uguale a $lim_(x->0)x/(2x)=1/2.$

Credo di aver commesso qualche errore,potreste dirmi se è giusto procedere così?

[fhabbio]

è vero che il limite fa $1/2$ ma nel calcolo hai fatto delle semplificazioni un po' troppo spregiudicate

è corretto dire che $x*e^x-sin(x)$ è asintotico a $-sin(x)$ per $x$ tendente a zero però la semplificazione operata al denominatore e il confronto tra infinitesimi che hai operato alla fine non vanno bene...

in particolare occhio al confronto tra gli infiniti (e gli infinitesimi) ma in questo caso ti faccio notare che il seno di un angolo tendente a zero è circa zero ma il coseno di un angolo tendente a zero è tende a 1! occhio per le prossime volte

riprova a calcolarlo pensando questa volta ai seguenti limiti notevoli

$\lim_{x \to \0} sin(x)/x=1$

$\lim_{x \to \0} (e^x-1)/x=1$

$\lim_{x \to \0} (1-cos(x))/x^2=1/2$

per indirizzarti e farti comprendere meglio ti consiglio di moltiplicare e dividere il seno per $x$ successivamente raccogli a fattore comune la $x$ al numeratore... poi posta qui se hai problemi!
ovviamente è una lungaggine quasi inutile ma se sei alle prime armi coi limiti è essenziale procedere passo passo

[frev]

Fhabbio grazie per aver risposto Ho provato come suggerito da te:

$ lim_(x->0)(xe^e-sinx)/(1-cos2x)=(xe^x-x(sinx/x))/(1-cos2x)=(xe^x-x)/(1-cos2x)=(x(e^x-1))/(1-cos2x) $

a questo punto ho moltiplicato numeratore e denominatore per x ottenendo:

$ lim_(x->0)(x^2(e^x-1))/(x(1-cos2x))=x^2/(1-cos2x) $

però ora non so come servirmi dell'ultimo limite notevole

[frev]

Aspetta forse ci sono .Moltiplico e divido il denominatore per $x^2$ ottenendo

$lim_(x->0)x^2/(x^2(1-cos(2x))/x^2)=1/((1-cos2x)/x^2) = 1/2$

Spero che questo procedimento sia giusto in caso affermativo esiste un modo piu rapido per risolvere questo limite?

[fhabbio]

ci sei vicino...

intanto segnati questo

$\lim_{f(x) \to \0} (1-cos(f(x)))/[f(x)]^2=1/2$

nota bene che nel caso generale $x$ può tendere a qualsiasi cosa, l'importante è che risulti $f(x) $tendente a $0$

nel caso specifico quindi avrai che

$\lim_{x \to \0} (1-cos(2x))/[2x]^2=1/2$

$\lim_{x \to \0} (1-cos(2x))/(4x^2)=1/2$

quindi se tu moltiplichi e dividi il denominatore per $4x^2$ puoi sostituire $ (1-cos(2x))/(4x^2)$ con $1/2$

dovrebbe uscirti senza grossi problemi...

comunque sia ricordati di portarti sempre dietro (almeno all'esame!!!) il segno di limite! altrimenti qualche professore molto minuzioso potrebbe considerarlo come un errore (come difatti è) gravissimo!

[frev]

Scusa Fhabbio ma non riesco a capire dove sbaglio.O meglio,in quale passaggio dovrei dividere e moltiplicare per $4x^2$?

[frev]

Ho $lim_(x->0)x^2/(1-cos(2x)$ ora moltiplico e divido per $4x^2$ ed ottengo

$lim_(x->0)x^2/(4x^2(1-cos(2x))/(2x)^2)= lim_(x->0) x^2/(4x^2 1/2)=lim_(x->0)x^2/(2x^2)=1/2$

Credo che questa sia il giusto modo di procedere,infatti prima avevo semplificato $x^2$ al numeratore con $x^2$ al denominatore e non si può

Grazie mille per le dritte

Però sono ancora curioso di sapere se c'è un modo più rapido di risolvere suddetto limite

[fhabbio]

certo, ci sono altri metodi, ma questo che abbiamo perseguito è il più facile.
Come infatti ti ho spiegato nel primo messaggio si è trattato di tante lungaggini burocratiche per comprendere come funziona...

ora se ci riguardiamo alle spalle possiamo fare una generalizzazione

ogni volta che vedremo

$sin(x)$ diremo che esso è pressoché identico a $x$ se siamo nell'intorno di $0$

$sin(x)~~x$ per $x\to 0$

e così

$e^x-1~~x$ per $x\to 0$

$1-cos(x)~~x^2/2$ per $x\to 0$

facendo un po' di pratica capirai come è stato "inutile" moltiplicare e dividere ogni volta

l'importante è

1) ricordarsi i limiti notevoli
2) avere l'intuizione per sapere individuarli
3) fare tanti esercizi!


e infine osserva che

$sin(f(x))~~f(x)$ per $f(x)\to 0$

tutto ciò vale per ogni limite notevole!

ovvero per farti un esempio

$\lim_{x \to \infty} sin(1/x)/(1/x)$

puoi facilmente intuire che esso vale 1!

[frev]

Grazie mille,mi hai aiutato tantissimo Sei stato davvero esaustivo