Limite inferiore di una funzione complessa
salve
sto controllando da un pò le mie dispense sui numeri complessi, ma nulla.
non riesco a trovare il limite inferiore di:
$f(z) = |1/(z^4 - 5z + 1)|$
con $|z|=2$
io avevo pensato di farci il limite per $z->-2$
ma non ne sono sicurissimo...
qualche suggerimento?
sto controllando da un pò le mie dispense sui numeri complessi, ma nulla.
non riesco a trovare il limite inferiore di:
$f(z) = |1/(z^4 - 5z + 1)|$
con $|z|=2$
io avevo pensato di farci il limite per $z->-2$
ma non ne sono sicurissimo...
qualche suggerimento?
Risposte
up
Sinceramente non riesco a capire il testo.
Che vuol dire "calcolare il limite inferiore di \(f(z)\)"?
Di solito si parla di \(\liminf_{z\to z_0} f(z)\) quando \(f\) è una funzione a valori reali (come nel caso in esame) e \(z_0\) è un punto di accumulazione per il dominio di \(f\): in tal caso il \(\liminf\) è il più piccolo dei minoranti definitivi di \(f\) intorno a \(z_0\).
Tuttavia nel caso in esame non vedo specificato nessun punto di accumulazione.
Non è che per caso c'è scritto di calcolare l'estremo infriore di \(f\) su quell'insieme?
In tal caso, si può scrivere la forma esplicita di \(f\) in funzione dell'argomento di \(z\) e minimizzare coi soliti metodi del Calcolo.
Che vuol dire "calcolare il limite inferiore di \(f(z)\)"?
Di solito si parla di \(\liminf_{z\to z_0} f(z)\) quando \(f\) è una funzione a valori reali (come nel caso in esame) e \(z_0\) è un punto di accumulazione per il dominio di \(f\): in tal caso il \(\liminf\) è il più piccolo dei minoranti definitivi di \(f\) intorno a \(z_0\).
Tuttavia nel caso in esame non vedo specificato nessun punto di accumulazione.
Non è che per caso c'è scritto di calcolare l'estremo infriore di \(f\) su quell'insieme?
In tal caso, si può scrivere la forma esplicita di \(f\) in funzione dell'argomento di \(z\) e minimizzare coi soliti metodi del Calcolo.
Trovare il limite inferiore e superiore di quella funzione dice il testo, io ho messo solo inferiore così da capire il ragionamento dove andava ad apparare.
f(z) è una funzione a variabile complessa a valori reali? Mi trovo, ma $|z|=2$ che condizione mi da? Io appunto credevo di fare il limite del rapporto incrementale, ma quindi sarei andato fuori strada...
$|z|=2$ non è punto di accumulazione perchè se lo metto nella $f(z_0) = f(2) = 1/7$ ? quindi non c'è alcun ingrippo nell'intorno di $z_0$ ?
f(z) è una funzione a variabile complessa a valori reali? Mi trovo, ma $|z|=2$ che condizione mi da? Io appunto credevo di fare il limite del rapporto incrementale, ma quindi sarei andato fuori strada...
$|z|=2$ non è punto di accumulazione perchè se lo metto nella $f(z_0) = f(2) = 1/7$ ? quindi non c'è alcun ingrippo nell'intorno di $z_0$ ?
\(|z|=2\) non denota un numero complesso, ma un insieme di numeri complessi (cioè quelli che stanno sulla circonferenza di centro \(0\) e raggio \(2\)).
Quindi non capisco cosa vada trovando il testo dell'esercizio (ma è preso da un libro scritto in italiano o l'hai tradotto dall'inglese?).
L'idea che mi sono fatto è che chi lo propone voglia farti calcolare:
\[
\inf_{|z|=2} f(z) \qquad \text{e} \qquad \sup_{|z|=2} f(z)\; .
\]
Per fare ciò, osserva che se \(z\) è un numero complesso con \(|z|=2\), allora è \(z=2\ e^{\imath\ \theta}\) con \(\theta \in [-\pi, \pi]\); allora:
\[
z^4-5z+1 = 16\ e^{\imath\ 4\theta} -10\ e^{\imath\ \theta} +1
\]
dunque:
\[
|z^4-5z+1|^2= (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2
\]
e:
\[
\begin{split}
\inf_{|z|=2} f(z) &= \frac{1}{\sqrt{\sup_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2}} \\
\sup_{|z|=2} f(z) &= \frac{1}{\sqrt{\inf_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2}}\; ,
\end{split}
\]
quindi tutto sta a determinare:
\[
\begin{split}
&\inf_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2 \\
&\sup_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2
\end{split}
\]
ed ad applicare le uguaglianze scritte in precedenza.
Però sono una barca di conti... Ed io odio chi assegna degli esercizi così.
Quindi non capisco cosa vada trovando il testo dell'esercizio (ma è preso da un libro scritto in italiano o l'hai tradotto dall'inglese?).
L'idea che mi sono fatto è che chi lo propone voglia farti calcolare:
\[
\inf_{|z|=2} f(z) \qquad \text{e} \qquad \sup_{|z|=2} f(z)\; .
\]
Per fare ciò, osserva che se \(z\) è un numero complesso con \(|z|=2\), allora è \(z=2\ e^{\imath\ \theta}\) con \(\theta \in [-\pi, \pi]\); allora:
\[
z^4-5z+1 = 16\ e^{\imath\ 4\theta} -10\ e^{\imath\ \theta} +1
\]
dunque:
\[
|z^4-5z+1|^2= (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2
\]
e:
\[
\begin{split}
\inf_{|z|=2} f(z) &= \frac{1}{\sqrt{\sup_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2}} \\
\sup_{|z|=2} f(z) &= \frac{1}{\sqrt{\inf_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2}}\; ,
\end{split}
\]
quindi tutto sta a determinare:
\[
\begin{split}
&\inf_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2 \\
&\sup_{\theta \in [-\pi ,\pi]} (16\cos 4\theta -10 \cos \theta +1)^2 +(16\sin 4\theta -10\sin \theta)^2
\end{split}
\]
ed ad applicare le uguaglianze scritte in precedenza.
Però sono una barca di conti... Ed io odio chi assegna degli esercizi così.
Non ho tradotto nulla, è un esercizio che si trova a pag 2 del pdf che ha scritto il prof.
stavo vagando alla cieca insomma,...giusto
z andrebbe riscritto come:
$x^2 + y^2 = 4$
tuttavia, dal momento che negli appuntini non vi è 'indicato' nulla, come mi sarei dovuto ''muovere'' senza? Con reminiscenze di analisi 1?
P.S ho risposto nel tread sul consiglio dei libri, potresti confermare quale è il titolo esatto di quegli autori da te indicati? in tale modo, al massimo lo porto in stampa, così da studiarci subito D:
stavo vagando alla cieca insomma,...giusto
z andrebbe riscritto come:
$x^2 + y^2 = 4$
tuttavia, dal momento che negli appuntini non vi è 'indicato' nulla, come mi sarei dovuto ''muovere'' senza? Con reminiscenze di analisi 1?
P.S ho risposto nel tread sul consiglio dei libri, potresti confermare quale è il titolo esatto di quegli autori da te indicati? in tale modo, al massimo lo porto in stampa, così da studiarci subito D:
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