Limite +inf -inf

[svarosky90]

Salve sto cercando di vedere dove va questa funzione all'infinito per questo faccio $lim_(x ->+-oo) |x-1|-sqrt(x^2+1) $ .Non so come fare a togliermi di mezzo la orma indeterminata.Grazie a chiunque mi dia una dritta.

[Seneca1]

"svarosky90":Salve sto cercando di vedere dove va questa funzione all'infinito per questo faccio $lim_(x ->+-oo) |x-1|-sqrt(x^2+1) $ .Non so come fare a togliermi di mezzo la orma indeterminata.Grazie a chiunque mi dia una dritta.

$lim_(x ->+oo) |x-1|-sqrt(x^2+1) = lim_(x ->+oo) x - 1 - sqrt(x^2+1) $

$lim_(x ->-oo) |x - 1| - sqrt(x^2+1) = lim_(x ->-oo) - x + 1 - sqrt(x^2+1) $

[svarosky90]

mmm ok questo l'ho capito ma se sostiuisco in entrambi i casi mi viene sempre $+oo -oo$

[pater46]

"svarosky90":mmm ok questo l'ho capito ma se sostiuisco in entrambi i casi mi viene sempre $+oo -oo$

veramente il secondo ti viene $-oo -oo$.

Per il primo, potresti provare ad uscire $|x|$ dalla radice.

[Seneca1]

"pater46":
veramente il secondo ti viene $-oo -oo$.

Veramente no...

[pater46]

Azz letto male :\

[Seneca1]

Però era giusto il suggerimento di raccogliere $x^2$ dentro la radice e portare fuori un $| x |$ (che a seconda se si considera un intorno di $+oo$ o un intorno di $-oo$ può scriversi come $x$ o come $-x$ ).

[mgiaff]

Ti tornerà poi utile un asintotico: $(\epsilon + 1)^\alpha approx 1 + \alpha \epsilon$

[pater46]

"mgiaff":Ti tornerà poi utile un asintotico: $(\epsilon + 1)^\alpha approx 1 + \alpha \epsilon$

Vedo che ti piacciono tanto i confronti asintotici, però dovresti stare un pò più attento all'intorno in cui sono effettivamente validi.
Lo sviluppo che proponi tu è valido per $x$ infinitesimo, mentre qui $x -> oo$, ergo la tua relazione non è vera.

[mgiaff]

"mgiaff":Ti tornerà poi utile un asintotico: $(\epsilon + 1)^\alpha approx 1 + \alpha \epsilon$

Il poi chiaramente stava per "una volta raccolto $x^2$", come precedentemente consigliato da qualcuno. In quel caso si ha $sqrt(1+1/x^2)$.

[pater46]

"Poi" quando se è un limite a $+oo$?

Se ti chiedo che tempo c'è a milano, che cosa me ne faccio di sapere che a napoli è nuvoloso?

[mgiaff]

Non ho capito questo paragone con il tempo xD

Tu avevi parlato di "portar fuori" $|x|$ dalla radice. Seneca aveva confermato che il raccoglimento di $x^2$ dentro la radice è un'ottima idea. A questo punto io ho suggerito l'elemento che serve per "far sparire" la radice, ovvero $(\epsilon + 1)^\alpha -1 approx \alpha \epsilon$.
Siamo d'accordo che $x -> +- infty$, ma eseguendo i procedimenti sopra descritti si ottiene:

$lim_(x->+- infty) (|x-1| - |x| sqrt(1 + 1/x^2))$

Questo è quello che avevate suggerito voi prima del mio intervento. Io ho quindi suggerito di sfruttare il confronto asintotico:

$lim_(x->+- infty) (|x-1| - |x| (1/(2 x^2) + 1) )$

[pater46]

Aaaah ok. Allora scusami, non avevo capito a cosa ti riferivi nel post. Non avevo pensato al limite notevole per il passo successivo

[mgiaff]

Capita a tutti di avere delle sviste Io poi sono iper-distratto quindi è facile che nella fretta faccia errori di questo tipo