Limite in $RR^2$
salve a tutti. non riesco a risolvere il seguente limite:
$lim_((x;y)->(0;0)) (x^y+y^x)/(x^yy^x)$
Innanzitutto ho provato a scrivere la funzione così:
$(e^(ylnx)+e^(xlny))/(e^(xlny)e^(ylnx))$
Dopodichè ho provato su alcune restrizioni ($y=kx, y=kx^2$ e quindi poichè la funzione è simmetrica, stesso risultato lo si ha per $x=ky, x=ky^2$ e mi viene che il limite è 2, perciò mi viene da pensare che esista...
Però non so fare maggiorazioni o niente in questa situazione qua...devo dimostrare che $|(e^(ylnx)+e^(xlny))/(e^(xlny)e^(ylnx))-2|<=0$ ma come fare? Perhcè nel calcolo del limite mi fregano tutte le forme indeterminate del tipo $0oo$ agli esponenziali, su cui però non si può dire niente visto che sono di due variabili diverse...
Qualcuno può aiutarmi per favore? Grazie in anticipo....
$lim_((x;y)->(0;0)) (x^y+y^x)/(x^yy^x)$
Innanzitutto ho provato a scrivere la funzione così:
$(e^(ylnx)+e^(xlny))/(e^(xlny)e^(ylnx))$
Dopodichè ho provato su alcune restrizioni ($y=kx, y=kx^2$ e quindi poichè la funzione è simmetrica, stesso risultato lo si ha per $x=ky, x=ky^2$ e mi viene che il limite è 2, perciò mi viene da pensare che esista...
Però non so fare maggiorazioni o niente in questa situazione qua...devo dimostrare che $|(e^(ylnx)+e^(xlny))/(e^(xlny)e^(ylnx))-2|<=0$ ma come fare? Perhcè nel calcolo del limite mi fregano tutte le forme indeterminate del tipo $0oo$ agli esponenziali, su cui però non si può dire niente visto che sono di due variabili diverse...
Qualcuno può aiutarmi per favore? Grazie in anticipo....
Risposte
Ma $x$ e $y$ variano solo nel primo quadrante, giusto? Penso di si, altrimenti non ha senso parlare di $y^x, x^y$. Butto giù un'idea:
[edit] c'erano alcuni errori, cancello e riscrivo, altrimenti non faccio capire niente.
Allora, l'idea è questa: $(x^y+y^x)/(x^yy^x)=1/(y^x)+1/(x^y)$. Se è vero, come sembra a un primo sguardo, che $lim_{(x,y)\to(0,0)}x^y=lim_{(x,y)\to(0,0)}y^x=1$, allora fine: il limite vale 2.
[edit] c'erano alcuni errori, cancello e riscrivo, altrimenti non faccio capire niente.
Allora, l'idea è questa: $(x^y+y^x)/(x^yy^x)=1/(y^x)+1/(x^y)$. Se è vero, come sembra a un primo sguardo, che $lim_{(x,y)\to(0,0)}x^y=lim_{(x,y)\to(0,0)}y^x=1$, allora fine: il limite vale 2.
"dissonance":
Ma $x$ e $y$ variano solo nel primo quadrante, giusto? Penso di si, altrimenti non ha senso parlare di $y^x, x^y$. Butto giù un'idea:
per $x>0, y>0$ $(x^y+y^x)/(x^yy^x)-2=(x^y+y^x-2x^yy^x)/(x^yy^x)=$ (semplifichiamo $x^y$) $=(1-y^x)/y^x=1/y^x-1$.
Ecco non ho capito questo passaggio della semplificazione....
Per forza, avevo fatto confusione. Ho ripulito il tutto, adesso dovrebbe andare meglio.
Ed ecco un'altra trovata per calcolare $lim_{(x,y)\to(0,0)}x^y$.
$x^y=e^(ylog\ x)$, e stiamo assumendo $x, y>0$. Prima citavo la disuguaglianza (valida per $x>0$) $log\ x<=x$. Poiché $y>0$, da questa disuguaglianza segue che $ylog\ x<=yx$, quindi $0<=|ylog\ x|<=|yx|=yx\to0$ per $(x,y)\to(0,0)$. Consegue che $e^(ylog\ x)\toe^0=1$. Analogamente calcoliamo il limite di $y^x$.
$x^y=e^(ylog\ x)$, e stiamo assumendo $x, y>0$. Prima citavo la disuguaglianza (valida per $x>0$) $log\ x<=x$. Poiché $y>0$, da questa disuguaglianza segue che $ylog\ x<=yx$, quindi $0<=|ylog\ x|<=|yx|=yx\to0$ per $(x,y)\to(0,0)$. Consegue che $e^(ylog\ x)\toe^0=1$. Analogamente calcoliamo il limite di $y^x$.
giusto! Si può anche scrivere così! Usando il fatto che $x>=lnx$ e $e^x>=x$:
$|(e^(ylnx)+e^(xlny)-2e^(ylnx)e^(xlny))/(e^(ylnx)e^(xlny))|<= |(e^(yx)+e^(xy)-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=|(2e^(xy)-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=|(2e^(xy)-2)/(xylnxlny)+(2-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=$ per $ _(x,y->0,0)$ a $|2/(lnxlny)-4/(lnxlny)|$$->0$ per $x,y->0,0$
In pratica le disuguaglianze chiave sono quelle dell'esponenziale e del logaritmo,a cui non avevo mai pensato prima....Grazie mille!
$|(e^(ylnx)+e^(xlny)-2e^(ylnx)e^(xlny))/(e^(ylnx)e^(xlny))|<= |(e^(yx)+e^(xy)-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=|(2e^(xy)-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=|(2e^(xy)-2)/(xylnxlny)+(2-2e^(2xy))/(xylnxlny)|=$ per $ _(x,y->0,0)$ a $|2/(lnxlny)-4/(lnxlny)|$$->0$ per $x,y->0,0$
In pratica le disuguaglianze chiave sono quelle dell'esponenziale e del logaritmo,a cui non avevo mai pensato prima....Grazie mille!
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