Limite in $RR^2$

[Benihime1]

devo trovare i $\beta>0$ tali che
$lim_((x,y)->(0,0)) (x|y|^(\beta))/(sqrt(x^2+y^2)*(x^2+y^4))=0$

per risolvero io sono passata alle coordinate polari,allora ottengo
$lim_(r->0) (r*cos(\theta)|r|^(\beta)|sen(\theta)|^(\beta))/(r*(r^2*(cos(\theta))^2+r^4*(sen(\theta))^4))=$
$=lim_(r->0) |r|^(\beta)/r^2 * (cos(\theta)|sen(\theta)|^(\beta))/((cos(\theta))^2+r^2*(sen(\theta))^4)=$
$=|sen(\theta)|^(\beta)/cos(\theta)*lim_(r->0) |r|^(\beta)/r^2$
che tende a 0 solo per $\beta>2$

nella risoluzione del mio professore (che utilizza un'altro metodo)invece risulta che $\beta>3$
dov'è il mio errore?perchè il mio metodo è sbagliato?

[Quinzio]

Il problema del tuo svolgimento è il denominatore.
Tu hai semplificato tutta una frazione supponendo che ad esempio sia $<1$.
Al numeratore è vero perchè si sono solo $sin$ e $cos$, ma al denominatore $\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta$, se $theta$ si avvicina molto a $pi/2$ hai il coseno a zero e $r^2$ che va a zero.
Quindi il denominatore può essere reso piccolo a piacere.
Se poni $\theta=\pi/2-r$ hai che $\sin\theta\~~1$ e $\cos(\theta)\~~r$
Usando queste semplificazioni rifai l'ultima parte del limite e troverai $\beta >3$

[Benihime1]

perfetto,molto chiaro!