Limite in due variabili maggiorazione errata?
Buonasera a tutti, ho dei dubbi sulla risoluzione del seguente limite,
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xe^\sqrt{x^2+y^2}-x}{x^2+y^2} \)
io ho seguito il ragionamento per cui usando cordinate polari raggiungo \(\displaystyle f(x,y)=cos(\theta)\frac{e^\rho-1}{\rho} \) , e fin qui il libro di testo mi da ragione.
Sucessivamente ho maggiorato a \(\displaystyle 1 \) il \(\displaystyle cos(\theta) \) e ho risolto il limite tramite stime asintotiche per cui arrivo a \(\displaystyle 1 \) come risultato finale, mentre il libro tralascia la maggiorazione e ottiene come unico risultato \(\displaystyle cos(\theta) \) per il quale prova la non esistenza del limite , poichè si ha un valore diverso del limite per ogni semiretta passante per l'origine.
Perche è errata la maggiorazione, in questo caso?
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xe^\sqrt{x^2+y^2}-x}{x^2+y^2} \)
io ho seguito il ragionamento per cui usando cordinate polari raggiungo \(\displaystyle f(x,y)=cos(\theta)\frac{e^\rho-1}{\rho} \) , e fin qui il libro di testo mi da ragione.
Sucessivamente ho maggiorato a \(\displaystyle 1 \) il \(\displaystyle cos(\theta) \) e ho risolto il limite tramite stime asintotiche per cui arrivo a \(\displaystyle 1 \) come risultato finale, mentre il libro tralascia la maggiorazione e ottiene come unico risultato \(\displaystyle cos(\theta) \) per il quale prova la non esistenza del limite , poichè si ha un valore diverso del limite per ogni semiretta passante per l'origine.
Perche è errata la maggiorazione, in questo caso?
Risposte
@arnett: ottima risposta.
@malueli: Queste cose succedono perché, come molti studenti su questo forum, hai dimenticato il valore assoluto al momento di fare delle stime.
@malueli: Queste cose succedono perché, come molti studenti su questo forum, hai dimenticato il valore assoluto al momento di fare delle stime.
ok, quindi in sostanza la funzione "maggiorante" non deve avere il valore assoluto perchè si possa considerare risultato del limite? Cioè se in questo caso avessi avuto
\(\displaystyle |f(\rho , \theta)|\leq|\frac{e^\rho+1}{\rho}| = \frac{e^\rho+1}{\rho} \)
avrei potuto togliere il valore assoluto e il limite sarebbe esistito e con valore 1 ?
grazie per le risposte
\(\displaystyle |f(\rho , \theta)|\leq|\frac{e^\rho+1}{\rho}| = \frac{e^\rho+1}{\rho} \)
avrei potuto togliere il valore assoluto e il limite sarebbe esistito e con valore 1 ?
grazie per le risposte
"arnett":
Il passaggio in polari serve nel caso in cui si riesca ad arrivare a scrivere una maggiorazione della seguente forma:
$|f(\rho, \theta)|<=r(\rho, \theta)\to0$
Da questo si conclude per il teorema del confronto che pure $f(\rho, \theta) \to 0$.
questo solo per il passaggio in polari? e se avessi una maggiorazione del tipo
\(\displaystyle |f(x, y)| \leq 1 - |x| \) sarebbe comunuqe scorretto asserire che il limite esiste ed è uguale a 1?
Grazie arnett, ho capito il punto, sei stato molto gentile
@malueli: Innanzitutto, hai provato a vedere se il limite esiste?
Di solito ciò si fa andando a calcolare il limite lungo le restrizioni della funzione a curve (ad esempio rette o semirette) che passano attraverso o "si tuffano" nel punto di accumulazione.
Ad esempio, cosa succede se consideri i limiti delle restrizioni $f(0,y)$ ed $f(x,0)$ della funzione $f$ all'asse delle ordinate o delle ascisse?
Di solito ciò si fa andando a calcolare il limite lungo le restrizioni della funzione a curve (ad esempio rette o semirette) che passano attraverso o "si tuffano" nel punto di accumulazione.
Ad esempio, cosa succede se consideri i limiti delle restrizioni $f(0,y)$ ed $f(x,0)$ della funzione $f$ all'asse delle ordinate o delle ascisse?
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