Limite in due variabili con logaritmo
Buongiorno a tutti,
vorrei chiedere se qualcuno ha qualche idea su come risolvere il seguente limite.
$lim_{(x,y)\to (0,0)}(y-x^2)\log|x-y|$
io ho provato diverse strade, nessuna delle quali mi ha convinto e sia sui testi che in rete gli esercizi a riguardo sono estremamente banali, nel senso che si risolvono o passando a coordinate polari o con la diseguaglianza di Young, o con il percorso su rette o parabole.
solo che in questo caso mi pare che nulla delle "solite cose" funzioni... anche le disuguaglianze del logaritmo non sono applicabili, sarebbe più semplice se l'argomento del logaritmo fosse $|1+x-y|$ o se non ci fosse quel fastidioso $x^2$...
Io ho il sospetto che il limite esista, tuttavia Wolfram alpha afferma che il limite probabilmente non esiste, però io non sono riuscito a trovare nessuna curva per cui il limite risulti diverso da $0$, se qualcuno sapesse darmi una mano sarebbe fantastico.
vorrei chiedere se qualcuno ha qualche idea su come risolvere il seguente limite.
$lim_{(x,y)\to (0,0)}(y-x^2)\log|x-y|$
io ho provato diverse strade, nessuna delle quali mi ha convinto e sia sui testi che in rete gli esercizi a riguardo sono estremamente banali, nel senso che si risolvono o passando a coordinate polari o con la diseguaglianza di Young, o con il percorso su rette o parabole.
solo che in questo caso mi pare che nulla delle "solite cose" funzioni... anche le disuguaglianze del logaritmo non sono applicabili, sarebbe più semplice se l'argomento del logaritmo fosse $|1+x-y|$ o se non ci fosse quel fastidioso $x^2$...
Io ho il sospetto che il limite esista, tuttavia Wolfram alpha afferma che il limite probabilmente non esiste, però io non sono riuscito a trovare nessuna curva per cui il limite risulti diverso da $0$, se qualcuno sapesse darmi una mano sarebbe fantastico.
Risposte
Grazie mille Tem !
Beh direi che non mi sarebbe mai venuto in mente di tentare con una famiglia di curve del genere!
specialmente perché bisogna limitarsi al solo limite sinistro, cioè $t \to 0-$ per far si che gamma tenda a $(0,0)$ altrimenti gamma non ha limite, e devo ammettere che non avrei mai preso in considerazione la possibilità di scegliere una curva che possiede il limite che mi interessa ma da un solo "lato" diciamo.
Ho provato sulla falsa riga di questa famiglia di curve a risolvere l'altra richiesta dell'esercizio, ovvero il limite nel punto $(1,1)$ , visto che una pacca sulla spalla non fa mai male vorrei sapere giusto per conferma se per caso ho fatto qualche errore:
io ho scelto come cammino la curva
$$
\gamma(t)=(t+1,t+1-e^{\frac{k}{(t+1)-(t+1)^2}})
$$
dove si ha che per $t\to 0+$ la funzione $\gamma(t)\to (1,1)$
quindi devo studiare il limite per $t\to 0+$ di $f(\gamma(t))$ cioè
$$
\lim_{t\to 0^+}k\frac{-t(t+1)-e^{\frac{k}{(t+1)-(t+1)^2}}}{-t(t+1)}=\lim_{t\to 0^+}k-\frac{e^{\frac{k}{-t(t+1)}}}{-t(t+1)}=k
$$
per cui anche per $(1,1)$ il limite non esiste, giusto ?
Beh direi che non mi sarebbe mai venuto in mente di tentare con una famiglia di curve del genere!
specialmente perché bisogna limitarsi al solo limite sinistro, cioè $t \to 0-$ per far si che gamma tenda a $(0,0)$ altrimenti gamma non ha limite, e devo ammettere che non avrei mai preso in considerazione la possibilità di scegliere una curva che possiede il limite che mi interessa ma da un solo "lato" diciamo.
Ho provato sulla falsa riga di questa famiglia di curve a risolvere l'altra richiesta dell'esercizio, ovvero il limite nel punto $(1,1)$ , visto che una pacca sulla spalla non fa mai male vorrei sapere giusto per conferma se per caso ho fatto qualche errore:
io ho scelto come cammino la curva
$$
\gamma(t)=(t+1,t+1-e^{\frac{k}{(t+1)-(t+1)^2}})
$$
dove si ha che per $t\to 0+$ la funzione $\gamma(t)\to (1,1)$
quindi devo studiare il limite per $t\to 0+$ di $f(\gamma(t))$ cioè
$$
\lim_{t\to 0^+}k\frac{-t(t+1)-e^{\frac{k}{(t+1)-(t+1)^2}}}{-t(t+1)}=\lim_{t\to 0^+}k-\frac{e^{\frac{k}{-t(t+1)}}}{-t(t+1)}=k
$$
per cui anche per $(1,1)$ il limite non esiste, giusto ?
chiaro! grazie ancora 
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