Limite in due variabili, aiuto a capire dove sbaglio
Avrei bisogno una mano anche per questo esercizio:
$lim_((x,y)->(0,1)) sin(xy^3)/(e^(xy)+1-2y)$
si verifichi che vale 0 o non esiste
In realtà usando le restizioni ho capito che non esiste, ma non capisco invece cosa sbaglio nel seguente ragionamento:
Ho provato a traslare con cambio variabile
$u=x$
$v=y-1$
Il limite diventa, inoltre applico l'equivalenza asintotica $lim_((u,v)->(0,0)) sin(u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))=lim_((u,v)->(0,0)) (u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))$
E poi volevo usare il confronto |f(x)-0|<=g(x,y) e se passando ai limiti (membro a membro) g(x,y) tende a zero -> il limite esiste e vale zero, bene, procedendo:
$|(u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))|=|(u(v+1)^3)|/(e^(u(v+1))+1|-2|*|(v+1)|)$ ed essendo $e^(u(v+1))+1$ sempre positiva maggioro con $(|u|*|v+1|*(v+1)^2)/(2*|v+1|)$ e semplificando i moduli mi rimane il numeratore che tende a zero, non capisco
$lim_((x,y)->(0,1)) sin(xy^3)/(e^(xy)+1-2y)$
si verifichi che vale 0 o non esiste
In realtà usando le restizioni ho capito che non esiste, ma non capisco invece cosa sbaglio nel seguente ragionamento:
Ho provato a traslare con cambio variabile
$u=x$
$v=y-1$
Il limite diventa, inoltre applico l'equivalenza asintotica $lim_((u,v)->(0,0)) sin(u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))=lim_((u,v)->(0,0)) (u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))$
E poi volevo usare il confronto |f(x)-0|<=g(x,y) e se passando ai limiti (membro a membro) g(x,y) tende a zero -> il limite esiste e vale zero, bene, procedendo:
$|(u(v+1)^3)/(e^(u(v+1))+1-2(v+1))|=|(u(v+1)^3)|/(e^(u(v+1))+1|-2|*|(v+1)|)$ ed essendo $e^(u(v+1))+1$ sempre positiva maggioro con $(|u|*|v+1|*(v+1)^2)/(2*|v+1|)$ e semplificando i moduli mi rimane il numeratore che tende a zero, non capisco
Risposte
Che il limite proposto valga $0$ è falso come un euro con la faccia di Salvini, perchè considerando la restrizione di $f$ alla retta di equazione $y=1$ si ottiene il limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - 1} = 1\; .
\]
D'altra parte, considerando la restrizione di $f$ sulla retta di equazione $x=0$ si ottiene:
\[
\lim_{y\to 1} 0 = 0\; ,
\]
dunque il limite proposto non esiste.
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - 1} = 1\; .
\]
D'altra parte, considerando la restrizione di $f$ sulla retta di equazione $x=0$ si ottiene:
\[
\lim_{y\to 1} 0 = 0\; ,
\]
dunque il limite proposto non esiste.
Sì certo, è esattamente quello che dicevo con
Quel che mi chiedevo è piuttosto: dove sbaglio nella procedura? Non trovo la falla.
Vorrei capire per non ripetere in casi simili
"smirne":
In realtà usando le restizioni ho capito che non esiste, ma non capisco invece cosa sbaglio nel seguente ragionamento:
Quel che mi chiedevo è piuttosto: dove sbaglio nella procedura? Non trovo la falla.
Vorrei capire per non ripetere in casi simili
Non capisco cosa combini al denominatore con quel valore assoluto...
Ehhh perché combino cose che è meglio non sapere, lasciamo stare
Grazie dello spunto lol.
Grazie dello spunto lol.
"gugo82":
Che il limite proposto valga $0$ è falso come un euro con la faccia di Salvini
poi dicono che matematica e realtà non possano collegarsi in ogni cosa
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