Limite in due variabili
Non capisco cosa non va su questo limite:
$lim_{(x,y)->(0,0)} (1-cosxy)/(x^2y^2)$
Ho appena cominciato a studiare la teoria quindi probabilmente dirò qualcosa di errato.. comunque, da quello che so, affinchè il limite $l$ esista, la funzione deve tendere a $l$ da tutte le direzioni. Scrivo allora $y$ in funzione di $x$ secondo una direzione qualsiasi $m$, $y=mx$, e sostituisco:
$lim_(x->0) (1-cosmx^2)/(m^2x^4)$. Se questo limite non dipende da $m$, allora esiste e il valore a cui tende è proprio $l$. Ora, secondo me usando il limite notevole, questo limite viene $1/2$. Ma il risultato dice che in realtà non esiste... Perchè?!?
$lim_{(x,y)->(0,0)} (1-cosxy)/(x^2y^2)$
Ho appena cominciato a studiare la teoria quindi probabilmente dirò qualcosa di errato.. comunque, da quello che so, affinchè il limite $l$ esista, la funzione deve tendere a $l$ da tutte le direzioni. Scrivo allora $y$ in funzione di $x$ secondo una direzione qualsiasi $m$, $y=mx$, e sostituisco:
$lim_(x->0) (1-cosmx^2)/(m^2x^4)$. Se questo limite non dipende da $m$, allora esiste e il valore a cui tende è proprio $l$. Ora, secondo me usando il limite notevole, questo limite viene $1/2$. Ma il risultato dice che in realtà non esiste... Perchè?!?
Risposte
Per $(x,y)\to (0,0)$ hai $xy\to 0$, quindi secondo me puoi senz'altro fare la sostituzione $z=xy$ ed usare il limite fondamentale di $(1-cos z)/z^2$.
Però il risultato dice che non esiste...
Nel caso mi avvicino a $(0,0)$ dalle direzioni degli assi (ovvero con $x=0$ e $y->0$, o $x->0$ e $y=0$), non riesco a calcolarlo, mi viene subito uno $0/0$ esatto (nel senso che non tende, è proprio 0). In tutti gli altri casi con il limite notevole ottengo $1/2$ come dici tu...
Però ho il sospetto che ci siano problemi appunto nelle direzioni degli assi per cui il limite non esiste...
Dico bene? Come faccio a calcolarlo?
Grazie
Nel caso mi avvicino a $(0,0)$ dalle direzioni degli assi (ovvero con $x=0$ e $y->0$, o $x->0$ e $y=0$), non riesco a calcolarlo, mi viene subito uno $0/0$ esatto (nel senso che non tende, è proprio 0). In tutti gli altri casi con il limite notevole ottengo $1/2$ come dici tu...
Però ho il sospetto che ci siano problemi appunto nelle direzioni degli assi per cui il limite non esiste...
Dico bene? Come faccio a calcolarlo?
Grazie
dovresti trovare una curva lungo la quale il limite non vale 1/2. Io una l'ho trovata.
Me la potresti dire??
Ho provato con tantissime curve ma sempre 1/2 mi viene... apparte come ho già detto con le curve x=0 e y=0 che non so calcolarlo...
Ho provato con tantissime curve ma sempre 1/2 mi viene... apparte come ho già detto con le curve x=0 e y=0 che non so calcolarlo...
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