Limite in due variabili
sia da calcolare:
$lim_[x_1,x_2->0,0](tan(x_1x_2)-sin(x_1^2-3x_2^2))/(root{4}(2|ln(cos(x_1^2+2x_2^2))|))
allora
$tan(x_1x_2)=x_1x_2(1+o(1))$ per $x_1x_2 -> 0
$sin(x_1^2-3x_2^2)=(x_1^2-3x_2^2)(1+o(1))$ per $x_1^2-3x_2^2 -> 0
$root{4}(2|ln(cos(x_1^2+2x_2^2))|)=sqrt(x_1^2+2x_2^2)(1+o(1))
e trovo
$lim_[x_1,x_2->0,0](x_1x_2-x_1^2+3x_2^2)/(sqrt(x_1^2+2x_2^2))
passando alle coordiante polari si trova
$lim_(rho->0^+)(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/(sqrt(cos^2theta+2sin^2theta)$
come si prosegue?
$lim_[x_1,x_2->0,0](tan(x_1x_2)-sin(x_1^2-3x_2^2))/(root{4}(2|ln(cos(x_1^2+2x_2^2))|))
allora
$tan(x_1x_2)=x_1x_2(1+o(1))$ per $x_1x_2 -> 0
$sin(x_1^2-3x_2^2)=(x_1^2-3x_2^2)(1+o(1))$ per $x_1^2-3x_2^2 -> 0
$root{4}(2|ln(cos(x_1^2+2x_2^2))|)=sqrt(x_1^2+2x_2^2)(1+o(1))
e trovo
$lim_[x_1,x_2->0,0](x_1x_2-x_1^2+3x_2^2)/(sqrt(x_1^2+2x_2^2))
passando alle coordiante polari si trova
$lim_(rho->0^+)(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/(sqrt(cos^2theta+2sin^2theta)$
come si prosegue?
Risposte
metti in evidenza $\ro$ e osserva che la quantità che ti rimane è limitata... e quindi trai la conclusione...
Trovi una funzione infinitesima che è sempre maggiore di quella cosa, dove non c'è $theta$
Il denominatore già di per se non puo' mai essere zero, in questo caso
Il denominatore già di per se non puo' mai essere zero, in questo caso
sapete non mi convince tanto questa nuova tecnica di svolgere i limiti... hanno introdotto questo teta, che non mi pare di avere incontrato finora...
se loro mettono per ipotesi $theta in [0,2pi)$ basta che non c'è la funzione tangente di mezzo ed è fatta...
ma per caso ha il ruolo che aveva epsilon prima? no perchè vedo che è sparito
se loro mettono per ipotesi $theta in [0,2pi)$ basta che non c'è la funzione tangente di mezzo ed è fatta...
ma per caso ha il ruolo che aveva epsilon prima? no perchè vedo che è sparito
Neanche prima c'era epsilon, dove lo vedi? 
Il tendere a zero per ogni $theta$ fissato non è condizione sufficiente per dire che il limite in zero è zero.
Pero' scritta così dovrebbe essere più facile da maggiorare con una funzione in cui non c'è $theta$ e che tende a zero
P.S:Devo ancora dare l'esame di sta roba
Il tendere a zero per ogni $theta$ fissato non è condizione sufficiente per dire che il limite in zero è zero.
Pero' scritta così dovrebbe essere più facile da maggiorare con una funzione in cui non c'è $theta$ e che tende a zero
P.S:Devo ancora dare l'esame di sta roba
$lim_(rho->0^+)(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/(sqrt(cos^2theta+2sin^2theta)$
Per cercare una funzione infinitesima sempre maggiore o uguale della funzione studiata:
Trovo il valore minimo che assume il denominatore facendo uno studio sulla derivata:
la derivata di $sqrt(cos^2theta+2sin^2theta)$ è uguale a zero quando $2cos(theta)sin(theta)=0$ cioè per $theta=0,pi/2,pi,3/2pi$
quindi il valore del denominatore sarà al minimo $sqrt(1)$
Detto cio':
$(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/(sqrt(cos^2theta+2sin^2theta))<=(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/sqrt1$
Al numeratore l'eliminazione (per maggiorazione) di $theta$ è più semplice:
$(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/sqrt1<=(rho*500)/sqrt1$
Essendo la funzione maggiore infinitesima, per confronto lo è anche la funzione di partenza.
Salvo errori
Per cercare una funzione infinitesima sempre maggiore o uguale della funzione studiata:
Trovo il valore minimo che assume il denominatore facendo uno studio sulla derivata:
la derivata di $sqrt(cos^2theta+2sin^2theta)$ è uguale a zero quando $2cos(theta)sin(theta)=0$ cioè per $theta=0,pi/2,pi,3/2pi$
quindi il valore del denominatore sarà al minimo $sqrt(1)$
Detto cio':
$(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/(sqrt(cos^2theta+2sin^2theta))<=(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/sqrt1$
Al numeratore l'eliminazione (per maggiorazione) di $theta$ è più semplice:
$(rhosinthetacostheta-rhocos^2theta+3rhosin^2theta)/sqrt1<=(rho*500)/sqrt1$
Essendo la funzione maggiore infinitesima, per confronto lo è anche la funzione di partenza.
Salvo errori
capito... stiamo utilizzando il teorema del confronto.... ma cosa mi dici della dicitura "uniformemente rispetto a $theta$"? semplicemente perchè il prodotto di una funzione definitivamente limitata per una funzione infinitesima tende a zero?
insomma... non sembrano esserci argomenti nuovi... forse sto cominciando a capire
per l'epsilon come non detto... il nuovo oggetto è il teta.
scusa se non ti ho risposto subito purtroppo devo scroccare l'internet ad amici, ma avevo già letto la tua risposta quando l'avevi postata
grazie!
insomma... non sembrano esserci argomenti nuovi... forse sto cominciando a capire
per l'epsilon come non detto... il nuovo oggetto è il teta.
scusa se non ti ho risposto subito purtroppo devo scroccare l'internet ad amici, ma avevo già letto la tua risposta quando l'avevi postata
grazie!
dove l'hai letto uniformemente rispetto a theta? sono io a chiederti a cosa ti riferisci perche' non capisco, ti riferisci a una qualche definizione?
Andando un po' ad intuito..
Il valore aggiunto della trasformazione in coordinate polari e della maggiorazione per confronto e' che sei SICURO che la funzione tende a zero.
Se invece la studi in coordinate "cartesiane" puoi tendere a zero in infiniti modi, ma ce ne puo' essere sempre uno (che non conosci)che tende ad un limite diverso (per esempio tende a 2 tramite una certa curva), e quindi il limite non esiste.
Questo e' quello che credo di aver capito, se sbaglio qualcuno mi corregga.
Andando un po' ad intuito..
Il valore aggiunto della trasformazione in coordinate polari e della maggiorazione per confronto e' che sei SICURO che la funzione tende a zero.
Se invece la studi in coordinate "cartesiane" puoi tendere a zero in infiniti modi, ma ce ne puo' essere sempre uno (che non conosci)che tende ad un limite diverso (per esempio tende a 2 tramite una certa curva), e quindi il limite non esiste.
Questo e' quello che credo di aver capito, se sbaglio qualcuno mi corregga.
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