Limite in due variabili

[alessioben]

Ciao a tutti!

Sto cercando di risolvere questo limite ma non ne vengo a capo.
Una tecnica che ho usato è cercare di avere delle maggiorazioni (es. $ abs(sint)<=abs(t) $ ) o se c'è una somma di elementi positivi allora ne elimino uno maggiorando il limite, ma mi viene sempre qualcosa del tipo 1 / 0 quindi è sbagliato... perché il limite dovrebbe fare 0.

Avete dei suggerimenti?
Grazie!
Di solito il prof non vuole usare gli asintotici

$ lim_((x,y)->(0,0)) sin(x^(1/3)y)/(x^2+y^4)^(1/3) $

[Lebesgue]

si ha che, per la disuguaglianza di young, per $x, y > 0$ vale $x^2 + y^2 \ge 2xy$, dunque si ha che:

$|\sin(x^(1/3) y) | / (x^2 + y^4)^(1/3) \le |x^(1/3)y| / |2xy^2|^(1/3) = |y|^(1/3) / 2^(1/3) $

dato che il limite del modulo tende a 0, anche il limite senza modulo andrà a zero

[alessioben]

Grazie mille! Non la conoscevo

[pilloeffe]

Per la verità qui non c'è neanche bisogno di tirare in ballo la disuguaglianza di Young, basta osservare che si ha:

$(a - b)^2 \ge 0 $

Posto $a := x $ e $b := y^2$, sviluppando il quadrato si ha:

$x^2 - 2xy^2 + y^4 \ge 0 \implies x^2 + y^4 \ge 2xy^2 $

[Lebesgue]

"pilloeffe":Per la verità qui non c'è neanche bisogno di tirare in ballo la disuguaglianza di Young

Hai ragionissima, era perché io la trovo sempre molto utile e quindi saperla non fa mai male