Limite in due variabili
Salve a tutti, ho un dubbio su cosa concludere con questo limite:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)} ((sin(xy)-ysin(x))/(x^2+y^2))$.
Per risolverlo, ho riscritto il limite come somma di due limiti e cercando delle maggiorazioni, ottenuto in entrambi i casi:
$abs((xy)/(x^2+y^2))<= 1/2$.
Dato che ottengo una cosa che non dipende ne da $x$ o da $y$, concludo che esiste? Perchè facendo il limite per $(x,y) to (0,0)$ di $1/2$ ovviamente ottengo $1/2$.
Grazie mille per l'aiuto.
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)} ((sin(xy)-ysin(x))/(x^2+y^2))$.
Per risolverlo, ho riscritto il limite come somma di due limiti e cercando delle maggiorazioni, ottenuto in entrambi i casi:
$abs((xy)/(x^2+y^2))<= 1/2$.
Dato che ottengo una cosa che non dipende ne da $x$ o da $y$, concludo che esiste? Perchè facendo il limite per $(x,y) to (0,0)$ di $1/2$ ovviamente ottengo $1/2$.
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Il limite di $0$ è $1/2$?
Troppi esercizi fanno svalvolare a volte.. scusate l'erroraccio..
Quindi è corretto che va a 0? Più che altro il ragionamento mi interessa capire se è corretto. Grazie mille comunque!
Quindi è corretto che va a 0? Più che altro il ragionamento mi interessa capire se è corretto. Grazie mille comunque!
È proprio il ragionamento che non va bene, hai detto che in valore assoluto è minore di $1/2$, quindi il limite è un mezzo, ma pure lo $0$ è minore di $1/2$, eppure il suo limite non è $0$.
Quindi devi azzerare tutto e ripartire da capo.
Quindi devi azzerare tutto e ripartire da capo.
Ok grazie mille. Provo a trovare un'altra strada. Ti faccio sapere in ogni caso. Grazie mille per il momento
Ho provato a procedere con le coordinate polari e ho ottenuto come risultato 0. E' corretto procedere con le polari? Se serve ti posto i passaggi.
"Gianluk3":
E' corretto procedere con le polari?
Si certo. Posta i passaggi vai.
"otta96":
[quote="Gianluk3"]E' corretto procedere con le polari?
Si certo. Posta i passaggi vai.[/quote]
ok.
$(sin(rho^2cos(theta)sin(theta))-rhosin(theta)sin(rhocos(theta)))/(rho^2)$, l'ho spezzata in modo da avere due limiti $-> 0^+$:
$=sin(rho^2cos(theta)sin(theta))/rho^2 (cos(theta)sin(theta))/(cos(theta)sin(theta))- sin(theta)cos(theta)sin(rhocos(theta))/(rhocos(theta))$
che va a $0$ facendo il passaggio al limite.
Spero sia corretto così.
Ma perchè dovrebbe andare a $0$? Dovresti giustificare un po' di più quello che dici.
Perdonami.
Quando vado a fare i passaggi al limite, ho che
$lim_{rho->0} sin(rho^2cos(theta)sin(theta))/(rho^2sin(theta)cos(theta))=1$ e
$lim_{rho->0} sin(rhocos(theta))/(rhocos(theta))=1$.
Quindi rimangono $cos(theta)sin(theta)-cos(theta)sin(theta)=0$.
Va bene come ragionamento?
Quando vado a fare i passaggi al limite, ho che
$lim_{rho->0} sin(rho^2cos(theta)sin(theta))/(rho^2sin(theta)cos(theta))=1$ e
$lim_{rho->0} sin(rhocos(theta))/(rhocos(theta))=1$.
Quindi rimangono $cos(theta)sin(theta)-cos(theta)sin(theta)=0$.
Va bene come ragionamento?
No, non va bene. Devi far vedere che il limite è indipendente da $\theta$ (sempre se il limite esiste). Ne abbiamo già parlato qui.
"Mephlip":
No, non va bene. Devi far vedere che il limite è indipendente da $\theta$ (sempre se il limite esiste). Ne abbiamo già parlato qui.
Sisi lo so, solo che pensavo andasse bene, per far vedere che il limite è indipendente da $theta$, che mi venisse una differenza del tipo $ cos(theta)sin(theta)-cos(theta)sin(theta)=0 $. Procedere cosi non lo dimostra in egual modo?
Allora, procedendo per maggiorazioni ho:
$ abs((sin(rho^2cos(theta)sin(theta))-rhosin(theta)sin(rhocos(theta)))/(rho^2))<= abs((rho^2cos(theta)sin(theta)-rho^2sin(theta)cos(theta))/rho^2) = 0$.
Così va bene?
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