Limite in dieci secondi

[stagna1]

l'eserciccio mi dice di calcolare in meno di dieci secondi

$lim_{n \to \infty} cos(n!pialpha), alpha in QQ$

dov'è il trucco?

[theras]

Beh..se $alpha$ è razionale,quel $n"!"alpha$ è definitivamente pari:
cosa ne deduci?
Saluti dal web.

[stagna1]

anch'io avevo pensato a un multiplo di $2pi$ ma non capisco perchè la cosa non funzioni quando ho solo $n!$ senza $alpha$. anche $n!$ è definitivamente pari...

[theras]

Veramente mi pare che funzioni,eccome:
basta porre $alpha=1(in QQ..)$!
Saluti dal web.

[stagna1]

che asino!

stavo facendo il limite su $cos(n!)$ e non su $cos(pin!)$.

scusatemi per il post inutile e grazie a theras per la pietà.

[Sk_Anonymous]

"stagna":[...] scusatemi per il post inutile [...]

E allora rendiamolo un po' più utile: prova a calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \; n \sin(2 \pi \cdot e \cdot n!) \]

[stagna1]

è troppo per me ma comunque direi:

$ lim_{n \to \infty} nsin(2pien!)$ ~ $ lim_{n \to \infty} nsin((2pin^nsqrt(2pin))/(e^(n-1)))$~$ lim_{n \to \infty} nsin((n^n)/(e^n)) $ che oscilla tra $+-oo$ .

aspetto i pomodori.

[Sk_Anonymous]

No, il tuo risultato è errato.

[stagna1]

faremo senza.

[Quinzio]

$e=1+1+1/2+1/6+...+1/(n!)$

[stagna1]

risposta decisamente più costruttiva.

grazie quinzio!

[Quinzio]

Sai.... dopo 2 ore... il problema dava 10 secondi di tempo .

[theras]

@Quinzio.
E come usare quello sviluppo in serie di $e^x$?
@Delirium.
Se quella successione diverge positivamente posto le mie linee di ragionamento..
Saluti dal web.

[Noisemaker]

provo ... ma altro che 10 secondi ... 10 giorni ...

il problema è la presenza di $\n!\cdot e.$ all'interno del limite. Allora ricordando che :

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}=e\qquad \to \qquad e= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}+\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}
\end{align*}

dove $\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}$ è il resto della serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}$

Allora il numero $\n!\cdot e $ è somma di un numero intero più un resto che dovremo cercare di stimare : ricordando allora che in generale il resto di una serie convergente $\sum_{k=n+1}^\inftya_k$ non supera in valore assoluto il termin $a_{k+1},$ avremo che:

\begin{align*}
\left|\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\right|\le\frac{1}{(n+1)!}
\end{align*}
dunque:
\begin{align*}
e=\left|\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\right|&\le \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\left|\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\right|\le \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{(n+1)!}\\
n!\cdot e&\le \sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}+\frac{1}{ n+1 }
\end{align*}
Allora il limite diventa:
\begin{align*}
0<|n \sin(2 \pi \cdot e \cdot n!)| \le \left|n \sin\left(2 \pi \cdot \left(N+\frac{1}{ n+1 }\right) \right)\right|\sim n \left|\sin\left( \frac{2 \pi}{ n }\right) \right|\sim n\cdot \frac{2 \pi}{ n } \to 2\pi
\end{align*}

.... a voi gli insulti

[Quinzio]

@Theras

"Delirium":[quote="stagna"][...] scusatemi per il post inutile [...]

E allora rendiamolo un po' più utile: prova a calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \; n \sin(2 \pi \cdot e \cdot n!) \][/quote]

In quell'espressione ci sono solo multipli di $\pi$... mi sembra.

[theras]

@Noisemaker.
Come fai,nella penultima catena di disuguaglianze,a maggiorare con $1/(n+1)$,se quella somma finita è positiva???
Inoltre non m'è chiaro se ritieni che quella successione converga a $2pi$:
nel caso puoi esplicitare con quale teorema ci sei arrivato?
@Quinzio.
Ma se fermi la tua serie numerica al termine successivo uno di tali addendi non è multiplo di $2pi$:
qualcosa non mi torna(ma forse perchè sono preconcettualizzato con la mia linea,magari errata,di ragionamento..)!
Saluti dal web.

[Noisemaker]

"theras":Come fai,nella penultima catena di disuguaglianze,a maggiorare con $1/(n+1)$,se quella somma finita è positiva???
Inoltre non m'è chiaro se ritieni che quella successione converga a $2pi$:
nel caso puoi esplicitare con quale teorema ci sei arrivato?
Saluti dal web.

no ...ho sbaglito con il ctrl C c'è un $1/(n+1)$ in piu e ualche $N$ in meno... ... correggo,scusa... è che dopo 4 ore..

nessun teorema, $\sin(2\pi n+2\pi x)=\sin(2\pi x)$ ... poi per carità ci saranno mille e più inesattezze, il mio è stato un tentativo ... certo se mi capitava durante un esame ... lallero!! ci ho messo tutta la partita Roma -Torino, compreso il pre e post partita!!

[Sk_Anonymous]

@Noisemaker: domani controllo meglio, ma la tua stima mi pare assennata. Ad ogni modo, il risultato a cui sei pervenuto è in definitiva corretto.
@tutti gli altri: il titolo del post con il rilancio è, appunto, "Rilancio (serviranno molti più secondi)".

[Noisemaker]

ok

[theras]

@Noisemaker.
Ora che hai sistemato con la presenza di quell'$N$,direi che và tutto ottimamente:
l'unica piccola imprecisione(per te non sostanziale,ma per utenti meno esperti che ti leggono può diventarla..)
è che il primo $<=$ della tua catena finale è,in realtà,un $=$.
Abbiamo avuto la stessa pensata:
solo che io ho commesso un'ingenuità di stima da cottura di fine giornata
(e non stavo,purtroppo per me,neanche guardando la partita ),
che m'aveva portato a stabilire come la successione divergesse!
Saluti dal web.

[Noisemaker]

"theras":@Noisemaker.
Ora che hai sistemato con la presenza di quell'$N$,direi che và tutto ottimamente:
l'unica piccola imprecisione(per te non sostanziale,ma per utenti meno esperti che ti leggono può diventarla..)
è che il primo $<=$ della tua catena finale è,in realtà,un $=$.
Abbiamo avuto la stessa pensata:
solo che io ho commesso un'ingenuità di stima da cottura di fine giornata
(e non stavo,purtroppo per me,neanche guardando la partita ),
che m'aveva portato a stabilire come la successione divergesse!
Saluti dal web.

...ha vinto la Roma.... tra sommatorie e sviluppi in serie... mi pare su rigore