Limite in dieci secondi
l'eserciccio mi dice di calcolare in meno di dieci secondi
$lim_{n \to \infty} cos(n!pialpha), alpha in QQ$
dov'è il trucco?
$lim_{n \to \infty} cos(n!pialpha), alpha in QQ$
dov'è il trucco?
Risposte
... rileggendo oggi a mente fredda la mia soluzione ...forse c'è qualcosa che non va ...
A mio modo di vedere,ti ripeto, solo quell'ultimo $<=$ prima delle stime asintotiche,
il quale andrebbe sostituito con $=$:
saluti dal web.
il quale andrebbe sostituito con $=$:
saluti dal web.
"Noisemaker":
provo ... ma altro che 10 secondi ... 10 giorni ...
..... in generale il resto di una serie convergente $\sum_{k=n+1}^\inftya_k$ non supera in valore assoluto il termin $a_{k+1},$ avremo che:
\begin{align*}
\left|\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\right|\le\frac{1}{(n+1)!}
\end{align*}
questo non va bene, cioè la stima sarebbe corretta se si trattasse di una serie a segno alterno, quindi di tipo Leibniz visto che necessariamente deve convegere, ma noi non abbiamo a che fare con una serie a segno alterno ....
in realtà la stima di quel resto la dovrei fare con gli integrali ....
Posto \(\displaystyle e_n := \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\), vale la stima
\[
0 < e - e_{n} < \frac{1}{n(n!)}\,.
\]
Abbiamo che
\[
\sin(2\pi \, e\, n!) = [\sin(2\pi \, e\, n!) - \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) ] + \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!)\,.
\]
Poiché
\[
\begin{gather}
|\sin(2\pi \, e\, n!) - \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) | \leq
2\pi\, n! (e - e_{n+1}) < \frac{2\pi n!}{(n+1)[(n+1)!]} < \frac{2\pi}{n^2}\,,\\
\sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) = \sin \left( \frac{2\pi}{n+1}\right) \sim \frac{2\pi}{n},
\end{gather}
\]
possiamo concludere che
\[
\lim_{n\to +\infty} n\cdot\sin(2\pi \, e\, n!) = 2\pi\,.
\]
\[
0 < e - e_{n} < \frac{1}{n(n!)}\,.
\]
Abbiamo che
\[
\sin(2\pi \, e\, n!) = [\sin(2\pi \, e\, n!) - \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) ] + \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!)\,.
\]
Poiché
\[
\begin{gather}
|\sin(2\pi \, e\, n!) - \sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) | \leq
2\pi\, n! (e - e_{n+1}) < \frac{2\pi n!}{(n+1)[(n+1)!]} < \frac{2\pi}{n^2}\,,\\
\sin(2\pi \, e_{n+1}\, n!) = \sin \left( \frac{2\pi}{n+1}\right) \sim \frac{2\pi}{n},
\end{gather}
\]
possiamo concludere che
\[
\lim_{n\to +\infty} n\cdot\sin(2\pi \, e\, n!) = 2\pi\,.
\]
"Rigel":
Posto \(\displaystyle e_n := \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\), vale la stima
\[
0 < e - e_{n} < \frac{1}{n(n!)}\,.
\]
.... ma da dove viene?
\[
\begin{align}
0 & < e-e_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!}\left[1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)} + \ldots\right]
\leq \frac{1}{(n+1)!}\left[1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} + \ldots\right]
\\ & =
\frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n (n!)}\,.
\end{align}
\]
\begin{align}
0 & < e-e_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!}\left[1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)} + \ldots\right]
\leq \frac{1}{(n+1)!}\left[1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} + \ldots\right]
\\ & =
\frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n (n!)}\,.
\end{align}
\]
grande ... ero lontano ...
la mia strada della stima del resto della serie, se avessi voluto prosegiurla utilizzando gli integrali , non mi avrebbe portato da nessuna parte '?
la mia strada della stima del resto della serie, se avessi voluto prosegiurla utilizzando gli integrali , non mi avrebbe portato da nessuna parte '?
La stima che ho scritto per \(e-e_n\) è standard (si usa, ad esempio, per dimostrare che \(e\) è irrazionale).
Una stima integrale la vedo un po' difficile, visto che \(n!\) andrebbe riscritto in termini della funzione \(\Gamma\) di Eulero, ma non escludo che si possa fare qualcosa.
Una stima integrale la vedo un po' difficile, visto che \(n!\) andrebbe riscritto in termini della funzione \(\Gamma\) di Eulero, ma non escludo che si possa fare qualcosa.
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