Limite in 2 variabili con young

[Gaussoso]

Ho provato a prenderlo per la testa e per i piedi... Ma niente. Il limite è questo:

lim_({x, y}->{0, 0})(y^2 abs(x)^alpha)/(sqrt(x^2+y^2) (x^2+y^4))

So che si risolve con la diseguaglianza di young e che il risultato deve essere: il limite esiste finito se e solo se alpha>= 3\2 (si tratta dell'ultima parte di un esercizio su continuità e differenziabilità)

[Rigel1]

"Gaussoso":Ho provato a prenderlo per la testa e per i piedi... Ma niente. Il limite è questo:

lim_({x, y}->{0, 0})(y^2 abs(x)^alpha)/(sqrt(x^2+y^2) (x^2+y^4))

So che si risolve con la diseguaglianza di young e che il risultato deve essere: il limite esiste finito se e solo se alpha>= 3\2 (si tratta dell'ultima parte di un esercizio su continuità e differenziabilità)

Che il limite non esista finito se \(\alpha < 3/2\) si verifica facilmente osservando che
\[
f(y^2, y) \sim \frac{y^2 |y|^{2\alpha}}{2 y^4 |y|} = \frac{1}{2}\, |y|^{2\alpha - 3}
\]
Se la funzione è nell'origine definita uguale a \(0\), questo ti mostra che non è continua nemmeno per \(\alpha = 3/2\).

Dimostrare che il limite esiste finito (nullo) quando \(\alpha > 3/2\) è un po' più complicato.
Io proverei così:
\[
|f(x,y)| \leq \frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{|y|\, |x|^{\alpha}}{x^2 + y^4}\,.
\]
La prima frazione è \(\leq 1\). Per quanto riguarda la seconda, puoi stimare con Young
\[
|x|^{\alpha} |y| \leq \frac{1}{p} |x|^{\alpha p} + \frac{1}{q} |y|^q.
\]
Adesso devi scegliere \(p\) e \(q\) in modo tale che \(q = 2\alpha p\); in questo modo, a secondo membro, l'esponente di \(|y|\) ti viene doppio rispetto a quello di \(|x|\).
Salvo (miei) errori, dovresti ottenere una maggiorazione del tipo
\[
|x|^{\alpha} |y| \leq C (x^2+ y^4)^{(2\alpha+1)/4},
\]
per una opportuna costante \(C > 0\).
Da qui dovrebbe essere facile concludere.

[Gaussoso]

Grazie, gentilissimo, ora le cose mi sono un po' più chiare. Prossimamente mi eserciterò su problemi simili, probabilmente posterò qualche altro esercizio per controllare il risultato. Un'ultima cosa: per scrivere le formule correttamente usate LaTeX?

[Rigel1]

"Gaussoso":Un'ultima cosa: per scrivere le formule correttamente usate LaTeX?

Sì. Vedi la guida per scrivere le formule che è linkata nel riquadro "Regole del forum".