Limite in 2 variabili

[stefano_89]

ciao a tutti, ho una domanda banale, ma che fino ad ora non mi ero mai posto: data la funzione $f(x,y) = xtg(xy^3)$ studiarne dominio, continuità, positività e trovare i limiti agli estremi del dominio.

Per quanto riguarda i primi 3 passi è tutto ok. Ma per quanto riguarda i lmiti sono proprio perso. Mi spiego, la funzione non è definità per $xy^3 = \pi/2 + k\pi$ perchè la tangente va all' infinito; quindi dovrei studiare la funzione l' attorno, ma fino ad ora i limiti che mi sono stati posti davanti riguardavano il verificare che un dato limite esistesse o meno. Cioè, ad esempio, verifiare che: $(x^3sen(y))/(x^2 + y^2)$ faccia zero nell' origine.
Nel mio esercizio invece, non conosco a priori il valore del limite da verificare, quindi sono andato in palla.. Voi cosa mi consigliate ?

Grazie a tutti..

[enr87]

io proverei a semplificare un po' le cose, ad esempio mi limiterei ad osservare il caso in cui $xy^3 = pi/2$. intanto vedi che questo non è un unico punto, ma un luogo di punti individuato dall'equazione $x = f(y)$ (porta al membro destro y^3..).
il problema a questo punto è che ottieni un limite parametrico, perchè vorresti determinare il valore della funzione x*tg(xy^3) quando x tende a f(y), dove appunto il parametro è y.
questa è l'unica idea che mi è venuta in mente, comunque non penso diano cose così bastarde all'esame

[stefano_89]

"enr87":io proverei a semplificare un po' le cose, ad esempio mi limiterei ad osservare il caso in cui $xy^3 = pi/2$. intanto vedi che questo non è un unico punto, ma un luogo di punti individuato dall'equazione $x = f(y)$ (porta al membro destro y^3..).
il problema a questo punto è che ottieni un limite parametrico, perchè vorresti determinare il valore della funzione x*tg(xy^3) quando x tende a f(y), dove appunto il parametro è y.
questa è l'unica idea che mi è venuta in mente, comunque non penso diano cose così bastarde all'esame

il problema è che questo è un semplice esercizio proposto dal prof..

[enr87]

mmh.. si vede che ho saltato quella lezione, oppure non me lo ricordavo, comunque vediamo cosa dicono i matematici di professione. l'anno scorso però non mi pare di aver mai visto qualcosa di così orribile, in genere quando devi determinare il valore del limite ricorri al criterio delle restrizioni: provi lungo 2-3 percorsi e poi verifichi se il valore del limite è davvero quello, quindi il caso è molto più semplice

ps: a proposito, sai se per caso ha dimostrato il teorema del differenziale totale quest'anno (condizione sufficiente per la differenziabilità)?

[stefano_89]

incredibile che anche tu sia qui a quest' ora..
cmq si tratta di un pdf messo sul suo sito, ma che ha anche già tolto, te lo passo su msn adesso se vuoi..
per quanto riguarda la differenziabilità: si. Te l' assicuro per 2 motivi: l'ha fatta ad una delle poche lezioni a cui sono andato e sui segue passo passo il libro, se fa qualcosa in più lo scrive nel diario delle lezioni..