Limite in 2 funzioni
Svolgendo lo studio di una funzione implicita mi sto perdendo nel calcolo di questo limite:
$lim_(y->-infty)ln(x+y)-x-2y$
la soluzione riporta $+infty$ e ad occhio e in velocità direi che è $+infty$ poichè domina $-2y$.
Tuttavia mi sono accorto che $ln(-infty)$ non è definito e non riesco a capire come aggirare il problema e dimostrare il risultato.
Grazie
$lim_(y->-infty)ln(x+y)-x-2y$
la soluzione riporta $+infty$ e ad occhio e in velocità direi che è $+infty$ poichè domina $-2y$.
Tuttavia mi sono accorto che $ln(-infty)$ non è definito e non riesco a capire come aggirare il problema e dimostrare il risultato.
Grazie
Risposte
Infatti è scritto male... Il limite, così come l'hai scritto non ha alcun senso.
"gugo82":
Infatti è scritto male... Il limite, così come l'hai scritto non ha alcun senso.
la funzione è $f(x,y)=ln(x+y)-x-2y$ e il dominio è $D:x> -y$.
e nella lezione online viene messo appunto, senza alcuna discussione,
$lim_(y->-infty)ln(x+y)-x-2y=+infty$
e io non capisco se è sbagliato calcolare tale limite per $y->-infty$ oppure è corretto ma c'è un ragionamento sotto che non sto comprendendo.
Grazie
Ho provato anche a passare, come ultima spiaggia,alle coordinate polari ma non ho ottenuto nessun esito...
Non so davvero come uscirne
Non so davvero come uscirne
Puoi fare quel che vuoi, ma non cambia il fatto che quella roba lì non ha senso.
Fissata $x in RR$, la $y$ varia in $]-x,+oo[$... E $-oo$ non è un'accumulazione di tale intervallo per nessun $x$.
Dove l'hai presa questa "soluzione"?
Fissata $x in RR$, la $y$ varia in $]-x,+oo[$... E $-oo$ non è un'accumulazione di tale intervallo per nessun $x$.
Dove l'hai presa questa "soluzione"?
"gugo82":
Puoi fare quel che vuoi, ma non cambia il fatto che quella roba lì non ha senso.
Fissata $x in RR$, la $y$ varia in $]-x,+oo[$... E $-oo$ non è un'accumulazione di tale intervallo per nessun $x$.
Dove l'hai presa questa "soluzione"?
da una esercitazione registrata in università e questo è il pdf degli appunti allegati ad essa di cui io non comprendo il ragionamento per arrivare alla soluzione.
Perché non segui il ragionamento... Che è ovviamente in-seguibile, dato che è un documento scritto "live" come se fosse alla lavagna: lo comprendi solo se hai seguito la lezione e preso appunti; altrimenti no.
L'idea è questa.
L'insieme di definizione della tua brava funzione è il semipiano $x+y > 0$, quindi una cosa simile:
[asvg]axes("","");
fill="lightyellow"; path([[-6,6],[6,-6],[6,6],[-6,6]]);
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-6,6],[6,-6]);[/asvg]
(purtroppo il colore-riempimento del semipiano copre del tutto gli assi...); in questo semipiano puoi considerare una retta $r$ parallela alla retta-origine del semipiano, cioè una retta di equazione $x+y=c$ con $c>0$:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-6,6],[6,-6]);
stroke="dodgerblue";
line([-6,8],[6,-4]); text([3.5,-1.5], "r: x+y=2", right);[/asvg]
e considerare la restrizione di $f$ a questa retta:
$f(c-y,y)=log c + y- c - 2 y = (log c - c) - y$;
la restrizione è definita per ogni $y in RR$ (e grazie! La retta $r$ è parallela alla retta-origine del semipiano) e ne puoi fare il limite per $y -> - oo$, ottenendo il risultato che trovi al fondo della prima pagina.
Dunque, quello lì è il risultato di un limite di una restrizione di $f$ fatta lungo una particolare curva del dominio, e senza specificare questo la scrittura:
$lim_(y -> - oo) log(x+y) - x - 2y = -oo$
non ha alcun significato (perché il limite al primo membro non ne ha).
L'idea è questa.
L'insieme di definizione della tua brava funzione è il semipiano $x+y > 0$, quindi una cosa simile:
[asvg]axes("","");
fill="lightyellow"; path([[-6,6],[6,-6],[6,6],[-6,6]]);
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-6,6],[6,-6]);[/asvg]
(purtroppo il colore-riempimento del semipiano copre del tutto gli assi...); in questo semipiano puoi considerare una retta $r$ parallela alla retta-origine del semipiano, cioè una retta di equazione $x+y=c$ con $c>0$:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-6,6],[6,-6]);
stroke="dodgerblue";
line([-6,8],[6,-4]); text([3.5,-1.5], "r: x+y=2", right);[/asvg]
e considerare la restrizione di $f$ a questa retta:
$f(c-y,y)=log c + y- c - 2 y = (log c - c) - y$;
la restrizione è definita per ogni $y in RR$ (e grazie! La retta $r$ è parallela alla retta-origine del semipiano) e ne puoi fare il limite per $y -> - oo$, ottenendo il risultato che trovi al fondo della prima pagina.
Dunque, quello lì è il risultato di un limite di una restrizione di $f$ fatta lungo una particolare curva del dominio, e senza specificare questo la scrittura:
$lim_(y -> - oo) log(x+y) - x - 2y = -oo$
non ha alcun significato (perché il limite al primo membro non ne ha).
Grazie per la risposta, ora è tutto molto più chiaro.
L'unico dubbio che mi rimane è il seguente: quindi posso affermare che il mio famoso limite vale $+infty$ solo se considero una retta $x+y=c$ con $c>0$... altrimenti non è definito...
Ho capito correttamente?
L'unico dubbio che mi rimane è il seguente: quindi posso affermare che il mio famoso limite vale $+infty$ solo se considero una retta $x+y=c$ con $c>0$... altrimenti non è definito...
Ho capito correttamente?
Non è "non definito", ma "non ha alcun senso".
Perfetto! Grazie
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