Limite goniometrico con archi dimezzati

[ravanello2]

Ciao a tutti,
sono alle prese con questo limite:

$lim_(x->pi/2)(sinx-1)/(cosx*(cos(x/2)-sin(x/2)))$

Ho provato ponendo $x-pi/2= t$ con $t$ tendente a $0$, ma poi non riesco a manipolare gli archi dimezzati.
Anche con le formule di duplicazione non riesco ad uscirne.
Con De l'Hospital la funzione si complica ulteriormente e non mi sembra una strada percorribile.

Qualcuno potrebbe aiutarmi?

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao ravanello,

Farei come avevi iniziato a fare, cioè ponendo $t := x - \pi/2 $ in modo che si ha:

$ lim_{x \to \pi/2}(sinx-1)/(cosx[cos(x/2)-sin(x/2)]) = lim_{t \to 0}(sin(t +\pi/2)-1)/(cos(t +\pi/2) [cos(t/2 + \pi/4)-sin(t/2 + \pi/4)]) = $

$ = lim_{t \to 0}(cos t-1)/(- sin t [- sqrt{2} sin(t/2)]) = - frac{1}{sqrt{2}} \cdot lim_{t \to 0}(1 - cos t)/(sin t sin(t/2)) = $
$ = - frac{2}{sqrt{2}} \cdot lim_{t \to 0} frac{1 - cos t}{t^2} \cdot frac{t}{sin t} \cdot frac{(t/2)}{ sin(t/2)} = - frac{2}{sqrt{2}} \cdot 1/2 \cdot 1 \cdot 1 = -1/sqrt{2} = - sqrt{2}/2 $

[ravanello2]

Ciao pilloeffe,
sempre gentile.
Addizione e sottrazione degli archi
Saltano fuori le mie lacune di goniometria da liceo classico!

Grazie ancora

[pilloeffe]

"ravanello":Saltano fuori le mie lacune di goniometria da liceo classico!

Tranquillo, anche mio padre ha fatto il liceo classico: all'inizio con Analisi Matematica I è stata un po' dura (con tanto di consigli a non proseguire gli studi...), ma alla fine si è laureato in Ingegneria Elettrotecnica...

"ravanello":Grazie ancora

Prego!