Limite goniometrico

Fai una domanda Tutte le categorie

8 feb 2009, 01:16

Buona sera. Sto provando a risolvere un limite mediante le formule note dei limiti notevoli.
Il limite è il seguente:
$lim_(x to pi/2) (sin^2 x)^(tgx)$
L'ho portato ad esponenziale ma arrivo sempre ad indeterminazione 0*oo e non so come uscirne.

vi ringrazio per l'attenzione.

è possibile risolverlo con limiti notevoli senza scomodare teoremi di De L'Hopital?

Risposte

Feliciano1

8 feb 2009, 00:45

Siccome la maggior parte dei limiti notevoli sono per x che tende a zero io cercherei di fare qualche sostituzione.
Prima però dovrei ricordare un po' di relazioni trigonometriche
$(sinx)^2=1-(cosx)^2$ e $tanx=((1-(cosx)^2)^(1/2))/(cosx)$

A questo punto il limite diventa $(1-(cosx)^2)^(((1-(cosx)^2)^(1/2))/(cosx))$.

A questo punto pongo $s=cosx$ quindi s tende a 0 per x che tende a $pi/2$, trasforma in "forma esponenziale" e mi riconduco facilemtne a dei limiti notevoli.

Alla fine esce $e^0=1$

Steven11

8 feb 2009, 00:54

Ciao, io farei così.
$lim_(x to pi/2) (sin^2 x)^(tgx)$

E' cosa più o meno nota che
$1/(sin^2x)=1+cot^2x$, quindi passando ai reciproci

$sin^2x=1/(1+cot^2x)$
Ma vale anche
$tanx=1/(cotx)$
Sostituendo queste due informazioni, arrivo ad un limite dove ho solo la cotangente.
$lim_(x to pi/2) (1/(1+cot^2x))^(cotx)$
La cotangente in questione tende a zero, quindi pongo
$cotx=y$ con $y to0$.
$lim_(y to 0) (1/(1+y^2))^y$ ovvero
$lim_(y to 0) 1/(1+y^2)^y$

Pertanto ti basta vedere cosa fa
$lim_(y to 0)(1+y^2)^y$.
che è semplice.
Ciao!