Limite funzioni monotone
Salve ragazzi!!! mi sto rincitrullendo con una questione sulle funzioni monotone!allora...Se io ho una funzione monotona DECRESCENTE il teorema dell'esistenza dei limiti di monotone mi dice che :
$\lim_{n \to \infty}f(x)=inf f(x) $
questo limite può essere finito od infinito ed in quest'ultimo caso , in particolare, -infinito trattandosi di un inf.
Allora mi chiedevo ..se la funzione è monotona decrescente NON negativa, quel limite non diverge mai, dato che la funzione non può andare a meno infinito? questa cosa mi impedisce di concludere la dimostrazione del criterio dell'integrale per la convergenza delle serie . Arrivata a vedere che
$\sum_{k=1}^\n\a_k -f(1)$ minore uguale di $\int_{1}^{n} f(x) dx$ minore uguale di $\sum_{k=1}^\n-1\a_k$ dovrei usare la monotonia delle successioni e dell'integrale per dimostrare che i due hanno comportamento analogo... Help me
$\lim_{n \to \infty}f(x)=inf f(x) $
questo limite può essere finito od infinito ed in quest'ultimo caso , in particolare, -infinito trattandosi di un inf.
Allora mi chiedevo ..se la funzione è monotona decrescente NON negativa, quel limite non diverge mai, dato che la funzione non può andare a meno infinito? questa cosa mi impedisce di concludere la dimostrazione del criterio dell'integrale per la convergenza delle serie . Arrivata a vedere che
$\sum_{k=1}^\n\a_k -f(1)$ minore uguale di $\int_{1}^{n} f(x) dx$ minore uguale di $\sum_{k=1}^\n-1\a_k$ dovrei usare la monotonia delle successioni e dell'integrale per dimostrare che i due hanno comportamento analogo... Help me
Risposte
ehm scusatemo...quel -1 nella seconda serie mi ci è scappato PER ERRORE ed il limite della f è Inf di f
abbiate pazienza ho un pò pasticciato...ancora devo imparare bene
abbiate pazienza ho un pò pasticciato...ancora devo imparare bene
scusa lilla potresti scirvere in formule altrimenti non si capisce niente!!
scusatemi 
In effetti non si capisce (quasi) niente.
Se hai una funzione $f : RR -> RR$ monotona decrescente ( $x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) >= f(x_2)$ decrescente in senso lato, in questo caso) e tale che $f(x) >= 0$ (non negativa) , allora è abbastanza ovvio che deve convergere per $x -> +oo$.
Il motivo è che hai $0$ come limitazione inferiore dell'insieme immagine.
Era questo il dubbio?
Se hai una funzione $f : RR -> RR$ monotona decrescente ( $x_1 < x_2 Rightarrow f(x_1) >= f(x_2)$ decrescente in senso lato, in questo caso) e tale che $f(x) >= 0$ (non negativa) , allora è abbastanza ovvio che deve convergere per $x -> +oo$.
Il motivo è che hai $0$ come limitazione inferiore dell'insieme immagine.
Era questo il dubbio?
ricordi quel teorema sulle funzioni monotone ke afferma ke se una funzione è definita in un intervallo CHIUSO e LIMITATO $[a,b]$ la funzione crescente o decrescente che sia converge ad un punto $x_0 in (a,b)$ ??
"paolotesla91":
ricordi quel teorema sulle funzioni monotone ke afferma ke se una funzione è definita in un intervallo CHIUSO e LIMITATO $[a,b]$ la funzione crescente o decrescente che sia converge ad un punto $x_0 in (a,b)$ ??
????
scusa seneca mi correggo: "esistono finiti i limiti agli estremi e nel generico punto $x_0 in (a,b)$.
In pratica il teorema sul limite di funzioni monotone!! XD
In pratica il teorema sul limite di funzioni monotone!! XD
Paolo mi pare che tu stia facendo non poca confusione, rileggiti il teorema e scrivi giusto almeno l'enunciato!
Sia $f(x)$ monotona in $[a,b]$. Allora esistono finiti i limiti agli estremi dell'intervallo e nel generico punto $x_0 in (a,b)$ ossia:
$lim_(x -> a^+) f(x)=l;$
$lim_(x -> b^-) f(x)=l$;
$lim_(x -> x_0^-) f(x)=l$;
$lim_(x -> x_0^+) f(x)=l$;
Con $l= sup {f(x): x in [a,x_0}$
N.B. l'intervallo può essere considerato anche aperto!!
Corretto
!!! scusatemi
$lim_(x -> a^+) f(x)=l;$
$lim_(x -> b^-) f(x)=l$;
$lim_(x -> x_0^-) f(x)=l$;
$lim_(x -> x_0^+) f(x)=l$;
Con $l= sup {f(x): x in [a,x_0}$
N.B. l'intervallo può essere considerato anche aperto!!
Corretto
!!! scusatemi
Io ci aggiungerei che nel generico punto $ x_0 $ di cui parli il limite destro e sinistro esistono finiti senza ombra di dubbio, ma possono non essere uguali. Ergo una funzione monotona in un intervallo reale (che può benissimo essere aperto) può avere solo discontinuità di prima specie (e sono un'infinità al più numerabile).
Dico che può benissimo essere aperto perchè se una funzione è monotona in un intervallo aperto (a,b), questo ti garantisce che esistano i limiti rispettivamente destro in a e sinistro in b. (Il teorema che dici tu è un corollario di questo)
Ps: infatti nella correzione del tuo ultimo messaggio hai scritto una cosa falsa, correggi al volo!
Dico che può benissimo essere aperto perchè se una funzione è monotona in un intervallo aperto (a,b), questo ti garantisce che esistano i limiti rispettivamente destro in a e sinistro in b. (Il teorema che dici tu è un corollario di questo)
Ps: infatti nella correzione del tuo ultimo messaggio hai scritto una cosa falsa, correggi al volo!
si hia ragione è colpa del libro su cui ho studiato perchè lo porta come teorema non come corollario 
!
!
Come fa $ l $ ad essere lo sempre lo stesso??
ragazzi io l'editor per le formule l'ho utilizzato, ma deve esserci qualche problema perchè anche nelle vostre risposte è andato a farsi friggere.. niente scrittine blu e tanti simboli!!
Se non vedi le formule prova a ricaricare la pagina, oppure collegati con un altro browser (tipo google chrome o firefox)!
Giuly $l$ non è sempre lo stesso!! se ricordi la dimostrazione: $l= {f(x): x in [a,x_0)}$-> estremo superiore* con $x_0$ fissato in $(a,b]$!1 questo dimostra che esiste il limite sinistro in $x_0$. Ovviamente considerandeo l'intervallo $[a,b)$ si dimostra anlogamente che esiste il limite destro!!
N.B. ho scritto "estremo superiore" perchè in formule non esce scritto comunque intendo la parte tra le parentesi {}!!
N.B. ho scritto "estremo superiore" perchè in formule non esce scritto comunque intendo la parte tra le parentesi {}!!
Se non è sempre lo stesso perchè lo chiami sempre $ l $ ? Dall'enunciato che hai scritto in realtà non si capisce nè che i limiti ai due estremi devono essere diversi (in caso contrario la funzione sarebbe costante o non monotona), ma soprattuto che se esiste una discontinuità in un punto $ x_0$ interno all'intervallo, questa è necessariamente di prima specie (e quindi anche in quel caso i due $l$ sono diversi..).
scusami se non sono stato molto pignolo ma con $l$ intendevo dire semplicemente che il limite è finito!!
"paolotesla91":
N.B. l'intervallo può essere considerato anche aperto!!
Allora quello che hai scritto non è vero, pensaci bene!
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