Limite funzioni a due variabili

[19xx]

Ho problemi con lo svolgimento dei limiti di funzioni a due variabili. Ad esempio:

Dato questo limite

$ lim_((x,y) -> (0,0)) (xy^2)/(4x^2+y^4) $

Sospetto che L=0, in quanto se restringo a y=x, ottengo 0 come limite.

Osservo che vale:

$ 0<=|(xy^2)/(4x^2+y^4)| <= |x| y^2 (4x^2+y^4)/(4x^2+y^4) $

Da cui ottengo facilmente che il limite della funzione è 0.

Ma il limite della funzione, in realtà, non esiste.
Il che mi porta alla domanda: cos'ho sbagliato nel mio ragionamento?

[Mephlip]

Il tuo ragionamento non funziona perché non è vero che $4x^2+y^4 \geq 1$ in un intorno di $(0,0)$; ad esempio, per ogni $0<\delta<\frac{1}{2}$ i punti del tipo $\left(0,\root[4]{\delta}\right)$ sono tali che $[4x^2+y^4]_{(x,y)=(0,\root[4]{\delta})}=4\cdot 0^2+(\root[4]{\delta})^4=\delta <\frac{1}{2}<1$.

[19xx]

Caspita, ti ringrazio! Stavo seguendo l'esempio del limite di un'altra funzione e mi sono lasciata trarre in inganno.

[pilloeffe]

Ciao 19xx,

"19xx":Sospetto che L=0, in quanto se restringo a y=x, ottengo 0 come limite.

Osserva che se ti restringi a $y = sqrt x $ si ha:

$\lim_((x,y) \to (0,0)) (xy^2)/(4x^2+y^4) \stackrel{y = sqrt{x}}[=] \lim_(x \to 0) (x^2)/(4x^2+x^2) = \lim_(x \to 0) (x^2)/(5x^2) = 1/5 $

Quindi in effetti il limite proposto non esiste...

[Mephlip]

Prego! Ora che ci penso, forse è meglio darti anche una spiegazione brutale del perché ciò accade: $x^2$ e $y^4$ sono quantità che, quando $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq 1$, diventano più piccole di $1$ perché stai facendo potenze di frazioni positive. Quindi non c'è speranza che, quando $(x,y) \to (0,0)$ (ossia quando sei interessata a sapere cosa succede in una zona del piano in cui sicuramente è $0 \leq x \leq 1$ e $0 \leq y \leq 1$), la somma $4x^2+y^4$ riesca a essere maggiore o uguale ad $1$ se ti avvicini a sufficienza all'origine (infatti $4x^2+y^4 \to 0$ per $(x,y) \to (0,0)$).

Suggerimento per dimostrare che il limite non esiste (lo metto nascosto, così ci puoi provare da sola fino a quando hai tempo/voglia):

Restringendosi a $x=y^2$, si ha che $f(x,y)=f(y^2,y)=\frac{y^4}{4y^4+y^4}=\frac{1}{5}$; dunque, lungo la restrizione $x=y^2$, la funzione di partenza è la funzione costante $\frac{1}{5}$, pertanto lungo tale restrizione il limite per $y \to 0$ è $\frac{1}{5}$.
(Anche qui, suggerimento brutale: cercare restrizioni che pareggiano gli esponenti del numeratore e del denominatore può essere utile).