Limite funzione razionale
Salve a tutti
devo calcolare questo limite:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (e^x-1)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}$
Ho provato con l'Hopital, visto che la forma è $\frac{0}{0}$, ma non si risolve anzi si complica.
Ho tentato anche con gli infinitesimi ma non ne sono venuto fuori.
E' possibile avere qualche consiglio?
Grazie e saluti
Giovanni C.
devo calcolare questo limite:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (e^x-1)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}$
Ho provato con l'Hopital, visto che la forma è $\frac{0}{0}$, ma non si risolve anzi si complica.
Ho tentato anche con gli infinitesimi ma non ne sono venuto fuori.
E' possibile avere qualche consiglio?
Grazie e saluti
Giovanni C.
Risposte
Dato che $e^x-1$ e' infinitesimo, e come hai notato hai una indeterminazione, potresti utilizzare le relative equivalenze asintotiche bilanciando opportunamente :
1- aggiungi e togli $e^x-1$ e valuti separatamente $\sin(e^x-1)-(e^x-1)$ e il resto...ti accorgerai che hai ancora una forma indeterminata del tipo $-\frac{x^3}{6}+\frac{x^3}{6}$ che dovrai ribilanciare (regola del pesare).
2- aggiungi e togli $\frac{(e^x-1)^3}{6}$ e $\frac{x^3}{6}$ ottenendo: $(\sin(e^x-1)-(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^3}{6})+( e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})-(\frac{(e^x-1)^3}{6}-\frac{x^3}{6})$ nota che questa espressione e' identica al numeratore della tua frazione!
3- valuti separatamente i tre pezzi il primo $~\frac{x^5}{5!}$ il secondo $~ \frac{x^4}{4!}$ e il terzo e' della forma $f^n-g^n$ con $f~g$...se (e spera che sia cosi') la somma dei coefficienti dei monomi di grado minore non si annullano, hai trovato il preponderante e puoi concludere! Altrimenti, sempre per la regola del pesare, devi ribilanciare...
1- aggiungi e togli $e^x-1$ e valuti separatamente $\sin(e^x-1)-(e^x-1)$ e il resto...ti accorgerai che hai ancora una forma indeterminata del tipo $-\frac{x^3}{6}+\frac{x^3}{6}$ che dovrai ribilanciare (regola del pesare).
2- aggiungi e togli $\frac{(e^x-1)^3}{6}$ e $\frac{x^3}{6}$ ottenendo: $(\sin(e^x-1)-(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^3}{6})+( e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6})-(\frac{(e^x-1)^3}{6}-\frac{x^3}{6})$ nota che questa espressione e' identica al numeratore della tua frazione!
3- valuti separatamente i tre pezzi il primo $~\frac{x^5}{5!}$ il secondo $~ \frac{x^4}{4!}$ e il terzo e' della forma $f^n-g^n$ con $f~g$...se (e spera che sia cosi') la somma dei coefficienti dei monomi di grado minore non si annullano, hai trovato il preponderante e puoi concludere! Altrimenti, sempre per la regola del pesare, devi ribilanciare...
"gcappellotto47":
Salve a tutti
devo calcolare questo limite:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin (e^x-1)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4} $
Ho provato con l'Hopital, visto che la forma è $ \frac{0}{0} $, ma non si risolve anzi si complica.
Ho tentato anche con gli infinitesimi ma non ne sono venuto fuori.
E' possibile avere qualche consiglio?
Grazie e saluti
Giovanni C.
una strada può essere questa :
osserviamo che per $x rarr 0,sen(e^x-1) ~e^x-1 $
quindi possiamo ricondurci al calcolo di $ lim_(x -> 0) (e^x-1-x-x^2/2)/x^4 $
applicando più volte De L'Hopital ottieni il risultato
adesso che ci penso,si potrebbe anche considerare lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione $y=e^x$, osservando che
$e^x-1-x-x^2/2$ è un infinitesimo di ordine $3$
$e^x-1-x-x^2/2$ è un infinitesimo di ordine $3$
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