Limite funzione integrale per x che tende a infinito
Salve! Stavo svolgendo un esercizio in cui solo l'ultimo quesito mi sta portando problemi.
Ho questa funzione integrale $\int_{x}^{2x} arctant/t dt$
Dovevo dimostrare che è estendibile con continuità in x=0, che è monotona e calcolare il limite per x che tende a piu infinito.
Fatti i primi due, non saprei come calcolare il limite.
Avevo pensato a $pi/2$...magari sbaglio.
Grazie in anticipo!
Ho questa funzione integrale $\int_{x}^{2x} arctant/t dt$
Dovevo dimostrare che è estendibile con continuità in x=0, che è monotona e calcolare il limite per x che tende a piu infinito.
Fatti i primi due, non saprei come calcolare il limite.
Avevo pensato a $pi/2$...magari sbaglio.
Grazie in anticipo!
Risposte
Posto $F(x)=int_(x)^(2x)arctan(t)/tdt$
Ho che $F'(x)>0,forallx in(0,+infty)$
Inoltre per $t>0$ si ha $0leqarctan(t)/tleqpi/(2t)$
Dunque per ogni $x>0$ si ha $0leqint_(x)^(2x)arctant/tleqint_(x)^(2x)pi/(2t)dt$
L'integrale di destra fa $pi/2log(2), forallx>0$ dunque
$lim_(x->+infty)F(x)leq pi/(2pi)$
Dunque abbiamo due informazioni importanti:
• f è strettamente crescente in $(0,+infty)$
• f è limitata in $(0,+infty)$
Dunque $f$ converge all'estremo superiore.
Non resta che mostrare che $Sup_(x in(0,+infty))(F)=pi/2log(2)$
Solo che al momento non mi viene nulla.
Ho che $F'(x)>0,forallx in(0,+infty)$
Inoltre per $t>0$ si ha $0leqarctan(t)/tleqpi/(2t)$
Dunque per ogni $x>0$ si ha $0leqint_(x)^(2x)arctant/tleqint_(x)^(2x)pi/(2t)dt$
L'integrale di destra fa $pi/2log(2), forallx>0$ dunque
$lim_(x->+infty)F(x)leq pi/(2pi)$
Dunque abbiamo due informazioni importanti:
• f è strettamente crescente in $(0,+infty)$
• f è limitata in $(0,+infty)$
Dunque $f$ converge all'estremo superiore.
Non resta che mostrare che $Sup_(x in(0,+infty))(F)=pi/2log(2)$
Solo che al momento non mi viene nulla.
Ci sto pensando anche io...ma non saprei
Bel post, @anto_zoolander, solo una precisazione:
Non sai ancora che il limite esiste, quindi è più corretto scrivere
\[
\limsup_{x\to+\infty} F(x)\le \frac{\pi}{2}\log 2.\]
Un suggerimento per dimostrare la tua intuizione (che condivido): hai usato l'approssimazione \(\arctan(x)\le \frac\pi 2\), ma per \(x\) molto grandi questa approssimazione è praticamente esatta. Prova a considerare la differenza \(\frac{\pi}{2}\log 2- F(x)\) e mostra che tende a zero, stimando la differenza \(\frac{\pi}{2}-\arctan(t)\) per \(t\in[x, 2x]\).
"anto_zoolander":
$lim_(x->+infty)F(x)leq pi/(2pi)$
Non sai ancora che il limite esiste, quindi è più corretto scrivere
\[
\limsup_{x\to+\infty} F(x)\le \frac{\pi}{2}\log 2.\]
Un suggerimento per dimostrare la tua intuizione (che condivido): hai usato l'approssimazione \(\arctan(x)\le \frac\pi 2\), ma per \(x\) molto grandi questa approssimazione è praticamente esatta. Prova a considerare la differenza \(\frac{\pi}{2}\log 2- F(x)\) e mostra che tende a zero, stimando la differenza \(\frac{\pi}{2}-\arctan(t)\) per \(t\in[x, 2x]\).
Grazie @dissonance 
Per il teorema delle funzioni monotone $F$ non converge all'estremo superiore?
Ovvero $lim_(x->+infty)F(x)=Sup_(x in(0,+infty))(F)$
E quindi dipende dal fatto che il $Sup$ sia finito o meno.
No?
Per il resto ora ci penso. Dopodomani ho l'esame di analisi I e devo finire un paio di cose
Per il teorema delle funzioni monotone $F$ non converge all'estremo superiore?
Ovvero $lim_(x->+infty)F(x)=Sup_(x in(0,+infty))(F)$
E quindi dipende dal fatto che il $Sup$ sia finito o meno.
No?
Per il resto ora ci penso. Dopodomani ho l'esame di analisi I e devo finire un paio di cose
Si va bene ma tocca calcolarlo quel sup.
Vediamo se così funziona:
Pongo $Sup_(x in(0,+infty))(F)=lambda$
Se per assurdo fosse $lambdanepi/2log(2)$ avremmo due possibilità:
• $lambda
• $lambda>pi/2log(2)$
Dunque se consideriamo il secondo caso, otteniamo subito un assurdo poiché $F$ è superiormente limitata da tale valore.
Il primo caso è quello più delicato.
Se $lambda0$ per ogni $x in(0,+infty)$ tale che $pi/2log2-epsilon>F(x)$
Questo equivale a dire che $pi/2log2-F(x)>epsilon$
Considero la funzione $h(t)=pi/2-arctan(t)$ per ogni $t>0$.
Ovviamente $lim_(t->+infty)h(t)=0$
Quindi $forall mu>0 exists t_0in(0,+infty): pi/2-arctan(t)t_0$
Ho tolto il valore assoluto perché $h(t)>0$ in questo intervallo.
Se vale per ogni $mu>0$ vale anche per $mu=epsilon$
$pi/2-arctan(t)
$int_(x)^(2x)pi/(2t)dt-F(x)
Ovvero $pi/2log2-F(x)
L'ultima disuguaglianza segue per il fatto che $log(2)<1$
Qui troviamo l'assurdo cercato perché otteniamo contemporaneamente;
$pi/2log2-F(x)epsilon$ quando $x in(t_0,+infty)$
Dunque per esclusione deve essere $lambda=pi/2log(2)$ in base alle osservazioni fatte precedentemente.
Pongo $Sup_(x in(0,+infty))(F)=lambda$
Se per assurdo fosse $lambdanepi/2log(2)$ avremmo due possibilità:
• $lambda
• $lambda>pi/2log(2)$
Dunque se consideriamo il secondo caso, otteniamo subito un assurdo poiché $F$ è superiormente limitata da tale valore.
Il primo caso è quello più delicato.
Se $lambda
Questo equivale a dire che $pi/2log2-F(x)>epsilon$
Considero la funzione $h(t)=pi/2-arctan(t)$ per ogni $t>0$.
Ovviamente $lim_(t->+infty)h(t)=0$
Quindi $forall mu>0 exists t_0in(0,+infty): pi/2-arctan(t)
Ho tolto il valore assoluto perché $h(t)>0$ in questo intervallo.
Se vale per ogni $mu>0$ vale anche per $mu=epsilon$
$pi/2-arctan(t)
$int_(x)^(2x)pi/(2t)dt-F(x)
Ovvero $pi/2log2-F(x)
L'ultima disuguaglianza segue per il fatto che $log(2)<1$
Qui troviamo l'assurdo cercato perché otteniamo contemporaneamente;
$pi/2log2-F(x)
Dunque per esclusione deve essere $lambda=pi/2log(2)$ in base alle osservazioni fatte precedentemente.
Esatto. Potresti essere molto più sintetico, evitando tutti questi casi per assurdo: in due parole, hai dimostrato qui che
\[
0<\frac{\pi}{2}\log 2 - F(x)<\epsilon\]
se \(x\) è sufficientemente grande, ovvero che \(F(x)\to \frac{\pi}{2}\log 2\). Non occorre neanche ragionare sul sup, come vedi.
\[
0<\frac{\pi}{2}\log 2 - F(x)<\epsilon\]
se \(x\) è sufficientemente grande, ovvero che \(F(x)\to \frac{\pi}{2}\log 2\). Non occorre neanche ragionare sul sup, come vedi.
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