Limite funzione integrale
Salve ragazzi...sono alle prese con questo genere di esercizi e non me ne riesco a liberare.
Devo calcolare, ad esempio, $\lim_{x \to \0} 1/x^3* \int_0^x (e^(t^2)-1) dt$
Da dove inizio? Mi sembra così complicato...
Grazie mille!!!
Devo calcolare, ad esempio, $\lim_{x \to \0} 1/x^3* \int_0^x (e^(t^2)-1) dt$
Da dove inizio? Mi sembra così complicato...
Grazie mille!!!
Risposte
Mi sembra che in questi casi convenga usare De L'Hospital.
Grazie....E come si utlizza in questi casi?
$\lim_{x \to \0} 1/x^3* \int_0^x (e^(t^2)-1) dt$ = $\lim_{x \to \0} ( \int_0^x (e^(t^2)-1))/x^3 dt$ = $\lim_{x \to \0} (e^(x^2)-1)/(3x^2)$ = $0$
Così? Però il libro dice che dovrebbe venire $1/3$ e non 0
$\lim_{x \to \0} 1/x^3* \int_0^x (e^(t^2)-1) dt$ = $\lim_{x \to \0} ( \int_0^x (e^(t^2)-1))/x^3 dt$ = $\lim_{x \to \0} (e^(x^2)-1)/(3x^2)$ = $0$
Così? Però il libro dice che dovrebbe venire $1/3$ e non 0
${(e^z=1+z+o(z)),(z=x^2):}->e^(x^2)=1+x^2+o(x^2)->e^(x^2)-1=x^2+o(x^2)$
$(e^(x^2)-1)/(3x^2)=(x^2+o(x^2))/(3x^2) sim_(x->o) x^2/(3x^2)=1/3$
$(e^(x^2)-1)/(3x^2)=(x^2+o(x^2))/(3x^2) sim_(x->o) x^2/(3x^2)=1/3$
Pardon..... 
Vi ringrazio davvero molto....
Vi ringrazio davvero molto....
Di niente 
Mi sono già ribloccata.
$\lim_{x \to \0} 1/x^4* \int_0^x^2 (log(1+sint) dt$ che per L'Hopital è uguale a
$\lim_{x \to \0} log(1+sin(x^2))/(4x^3)$=$\lim_{x \to \0} (x^2+o(x^3))/(4x^3)=oo $
E in questo caso invece dovrebbe venire $1/2$
$\lim_{x \to \0} 1/x^4* \int_0^x^2 (log(1+sint) dt$ che per L'Hopital è uguale a
$\lim_{x \to \0} log(1+sin(x^2))/(4x^3)$=$\lim_{x \to \0} (x^2+o(x^3))/(4x^3)=oo $
E in questo caso invece dovrebbe venire $1/2$
Chiamiamo $F(x)=int (log(1+sin(t)))dt$
Si ha che:
$int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt=F(x^2)-F(0)$
Quindi:
$lim_(x->0) (int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt)/x^4 = lim_(x->0) (d/dx int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt)/(d/dx x^4)=lim_(x->0) (d/dx F(x^2)-d/dx F(0))/(4x^3)=$
$=lim_(x->0) (F'(x^2)*2x)/(4x^3) = lim_(x->0) 1/2 * log(1+sin(x^2))/x^2 $
Ma $1/2 * log(1+sin(x^2))/x^2 sim_(x->0) 1/2$.
Si ha che:
$int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt=F(x^2)-F(0)$
Quindi:
$lim_(x->0) (int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt)/x^4 = lim_(x->0) (d/dx int_0^(x^2)(log(1+sin(t)))dt)/(d/dx x^4)=lim_(x->0) (d/dx F(x^2)-d/dx F(0))/(4x^3)=$
$=lim_(x->0) (F'(x^2)*2x)/(4x^3) = lim_(x->0) 1/2 * log(1+sin(x^2))/x^2 $
Ma $1/2 * log(1+sin(x^2))/x^2 sim_(x->0) 1/2$.
Una cosa non mi è molto chiara...perchè $d/dx F(x^2) = F'(x^2)*2x$ ? Io direi semplicemente $d/dx F(x^2) = F'(x^2)$
Grazie ancora....
Grazie ancora....
E' la regola della catena per derivare funzioni di funzioni: $d/dx [f(g(x))]=f\ '(g(x))\ g'(x)$
E invece $lim_(x->oo)(log(x)/x^2*\int_1^x t/logt dt)$?
Ho provato scrivendo $lim_(x->oo)(\int_1^x t/logt dt)/(x^2/log(x))$ e applicando l'Hopital come gli esercizi precedenti, ma la derivata del denominatore esce un po' complicata....Forse in questo caso c'è un altra sytrada?
Ho provato scrivendo $lim_(x->oo)(\int_1^x t/logt dt)/(x^2/log(x))$ e applicando l'Hopital come gli esercizi precedenti, ma la derivata del denominatore esce un po' complicata....Forse in questo caso c'è un altra sytrada?
C'è qualcosa che non va con questo esercizio: $\int_1^x t/{\log t}dt$ è sempre $+\infty$, qualunque sia il valore di $x>1$ (chiedo conferma a chi è più esperto di me!).
Quindi la funzione $f(x)=\log(x)/x^2\int_1^x t/\log(x)dt$ di cui si vuole calcolare il limite è sempre uguale a $+\infty$ a prescindere dal valore di $x$ e dunque il limite è $+\infty$.
In questo procedimento però c'è una grossa pecca: la funzione $f$ non è una funzione a valori reali!
Secondo me a causa di questo motivo l'esercizio stesso non ha alcun significato (a meno di non considerare $f:\mathbb{R}->\mathbb{\R}\cup\{-\infty,+\infty}$ con opportune estensioni delle definizioni di $\lim$).
Quindi la funzione $f(x)=\log(x)/x^2\int_1^x t/\log(x)dt$ di cui si vuole calcolare il limite è sempre uguale a $+\infty$ a prescindere dal valore di $x$ e dunque il limite è $+\infty$.
In questo procedimento però c'è una grossa pecca: la funzione $f$ non è una funzione a valori reali!
Secondo me a causa di questo motivo l'esercizio stesso non ha alcun significato (a meno di non considerare $f:\mathbb{R}->\mathbb{\R}\cup\{-\infty,+\infty}$ con opportune estensioni delle definizioni di $\lim$).
L'esercizio dice semplicemente di calcolare i limiti...e il risultato di questo dovrebbe essere $1/2$
Non capisco perchè dici che il limite sia $+oo$. Se l'integrale tende a $+oo$, $log(x)/x^2$ invece tende a 0 e quindi non è una forma indeterminata $0* oo$?
Non capisco perchè dici che il limite sia $+oo$. Se l'integrale tende a $+oo$, $log(x)/x^2$ invece tende a 0 e quindi non è una forma indeterminata $0* oo$?
Temo che ci sia un'ambiguità nel testo.
"melli13":
L'esercizio dice semplicemente di calcolare i limiti...e il risultato di questo dovrebbe essere $1/2$
Non capisco perchè dici che il limite sia $+oo$. Se l'integrale tende a $+oo$, $log(x)/x^2$ invece tende a 0 e quindi non è una forma indeterminata $0* oo$?
Il problema non è che l'integrale tende a $+oo$. L'integrale è $+oo$ per qualunque valore di $x$.
Forse chi ha scritto questo esercizio non si è accorto della cosa. Se se ne fosse accorto sono sicuro che avrebbe scelto un estremo di integrazione inferiore maggiore di $1$. In tal caso il limite risulterebbe 1/2 applicando de l'Hopital.
Infatti uscirebbe $lim_(x->oo)(log(x)/x^2*\int_2^x t/logt dt)=\lim_{x->+oo}\frac{x/logx}{(2xlogx-x)/{log^2x}}={xlogx}/{2xlogx-x}=1/{2-1/logx}->1/2$ per $x->+oo$
Allora forse la prof è sfuggito questo "piccolo" dettaglio.....Grazie mille...ancora....
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