Limite funzione in due variabili
Data la funzione $f(x,y)=xy^(2)e^(-xy)$ ristretta al primo quadrante,stabilire se esiste il limite della funzione quando il punto $(x,y)$ si allontana indefinitamente dall'origine.
Come posso fare?Ho provato a calcolarmi il limite lungo la parabola $y=mx^2$ per $x->oo$,ma mi risulta che il limite è indipendente da $m$,quindi la condizione necessaria è verificata.
Help,
Grazie
Come posso fare?Ho provato a calcolarmi il limite lungo la parabola $y=mx^2$ per $x->oo$,ma mi risulta che il limite è indipendente da $m$,quindi la condizione necessaria è verificata.
Help,
Grazie
Risposte
La parabola non è sufficiente: dovresti andare avanti all'infinito. E' decisamente meglio passare in coordinate polari e verificare se nel primo quadrante c'è qualche coppia $(r,t)$ che crea problemi...
Che cos'è il limite per (x,y) che si allontanano arbitrariamente dall'origine? Mi dareste una definizione per favore?
Qualsiasi cosa sia , si potrebbe provare a verificare che per x,y abbastanza grandi $x,y>=0$, $\frac{1}{||(x,y)||}>=\frac{xy^2}{e^(xy)}$, che a occhio mi pare vero... sempre se ho afferrato il concetto.
Qualsiasi cosa sia
, si potrebbe provare a verificare che per x,y abbastanza grandi $x,y>=0$, $\frac{1}{||(x,y)||}>=\frac{xy^2}{e^(xy)}$, che a occhio mi pare vero... sempre se ho afferrato il concetto.
"elgiovo":
La parabola non è sufficiente: dovresti andare avanti all'infinito. E' decisamente meglio passare in coordinate polari e verificare se nel primo quadrante c'è qualche coppia $(r,t)$ che crea problemi...
Il problema è che purtroppo secondo me il limite esiste...quindi farei tante prove senza mai trovare un caso in cui la condizione necessaria viene a mancare
non so se sto dicendo una cosa che non ha nulla a che fare con il problema, ma quando si parla di direzioni in generale si considerano le rette... perché prendere le parabole?
prendi con le molle il mio suggerimento, ma per me rimanere nel primo quadrante significa considerare i due semiassi coordinati positivi e le semirette del primo quadrante: y=mx, con m>0.
se così fosse, allora i "tre" limiti (lungo i due semiassi e lungo la generica semiretta y=mx) sono nulli:
$lim_(x->oo) (m^2*x^3*e^(-m*x^2))=0$
se non è quello che cerchi, scusami. ciao.
prendi con le molle il mio suggerimento, ma per me rimanere nel primo quadrante significa considerare i due semiassi coordinati positivi e le semirette del primo quadrante: y=mx, con m>0.
se così fosse, allora i "tre" limiti (lungo i due semiassi e lungo la generica semiretta y=mx) sono nulli:
$lim_(x->oo) (m^2*x^3*e^(-m*x^2))=0$
se non è quello che cerchi, scusami. ciao.
"adaBTTLS":
non so se sto dicendo una cosa che non ha nulla a che fare con il problema, ma quando si parla di direzioni in generale si considerano le rette... perché prendere le parabole?
prendi con le molle il mio suggerimento, ma per me rimanere nel primo quadrante significa considerare i due semiassi coordinati positivi e le semirette del primo quadrante: y=mx, con m>0.
se così fosse, allora i "tre" limiti (lungo i due semiassi e lungo la generica semiretta y=mx) sono nulli:
$lim_(x->oo) (m^2*x^3*e^(-m*x^2))=0$
se non è quello che cerchi, scusami. ciao.
Sisi anche così e corretto ed infatti anche così ho fatto giungendo alla stessa tua conlusione:il limite è sempre zero,ovvero non varia al variare del coefficiente angolare e dunque della retta considerata,il che però non assicura che il limite esiste,ma potrebbe esistere.Il problema è dimostrare che esiste...
"adaBTTLS":
quando si parla di direzioni in generale si considerano le rette...
Ok, ma qui nessuno ha parlato di direzioni, bensì di allontanamento indefinito dall'origine.
Se sei convinto che il limite esista allora non ti resta che passare a coordinate polari. Di solito si prova con rette e parabole se si è convinti del contrario (infatti basta che il limite dipenda da m per uno solo di questi tipi di curva perchè il limite non esista).
"elgiovo":
[quote="adaBTTLS"]quando si parla di direzioni in generale si considerano le rette...
Ok, ma qui nessuno ha parlato di direzioni, bensì di allontanamento indefinito dall'origine.
Se sei convinto che il limite esista allora non ti resta che passare a coordinate polari. Di solito si prova con rette e parabole se si è convinti del contrario (infatti basta che il limite dipenda da m per uno solo di questi tipi di curva perchè il limite non esista).[/quote]
Cioè passando in coordinate polari potrei dimistrare l'esistenza del limite?
Si.
A me pare che il limite non esista.
Infatti se tendi all'infinito su una retta :
$\lim_{t\to+\infty}f(tx,ty)=\lim_{t\to+\infty}t^3e^{-xyt^2}=0$ qualunque sia la coppia $(x,y)\ne (0,0)$ nel quadrante positivo (l'esponenziale vince se $xy\ne0$, se $xy=0$ è ovvio)).
Però sull'iperbole (purtroppo ci sono anche le iperboli ...) $\{xy=1}$ puoi andare all'infinito considerando:
$\lim_{t\to+\infty}f(1/t,t)=\lim_{t\to+\infty}te^{-1}=+\infty$
$0\ne+\infty$, quindi il limite non c'è
Infatti se tendi all'infinito su una retta :
$\lim_{t\to+\infty}f(tx,ty)=\lim_{t\to+\infty}t^3e^{-xyt^2}=0$ qualunque sia la coppia $(x,y)\ne (0,0)$ nel quadrante positivo (l'esponenziale vince se $xy\ne0$, se $xy=0$ è ovvio)).
Però sull'iperbole (purtroppo ci sono anche le iperboli ...) $\{xy=1}$ puoi andare all'infinito considerando:
$\lim_{t\to+\infty}f(1/t,t)=\lim_{t\to+\infty}te^{-1}=+\infty$
$0\ne+\infty$, quindi il limite non c'è
"ViciousGoblinEnters":
A me pare che il limite non esista.
Infatti se tendi all'infinito su una retta :
$\lim_{t\to+\infty}f(tx,ty)=\lim_{t\to+\infty}t^3e^{-xyt^2}=0$ qualunque sia la coppia $(x,y)\ne (0,0)$ nel quadrante positivo (l'esponenziale vince se $xy\ne0$, se $xy=0$ è ovvio)).
Però sull'iperbole (purtroppo ci sono anche le iperboli ...) $\{xy=1}$ puoi andare all'infinito considerando:
$\lim_{t\to+\infty}f(1/t,t)=\lim_{t\to+\infty}te^{-1}=+\infty$
$0\ne+\infty$, quindi il limite non c'è
giusto,grazie mille
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