Limite funzione in 2 variabili

[elipi1]

Salve a tutti! Allora ho qualche problema con questo limite:

$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4y^2)/(x^3+y^3) $

con $ x+y != 0 $

Dunque io ho provato a passare in polari ricavandone

$ lim_( r -> 0) (r^3(cos t)^4(sint)^2)/((cost)^3+(sint)^3) $

e da qui a dire il vero io avrei detto che siccome $ y != -x $ il denominatore non si annulla mai e quindi il limite è zero...
Questo prima di scoprire che la soluzione è che non esiste... Dove sbaglio?
Grazie a tutti!

[Giuly191]

E' un esercizio stupido se ci pensi, perchè ti sta chiedendo se esiste il limite di una funzione che su un'intera retta passante per il punto su cui devi studiare il limite non è definita, siccome si annulla il suo denominatore. La risposta è ovviamente no, pensa a come potresti trovare un $delta$ tale che per ogni $(x,y)$ per cui $|| ((x,y))||0$; non puoi fare tutto ciò perchè la funzione tende a $pmoo$ quando $(x,y)->(x_0,-x_0)$, e ciò succede anche nel più piccolo intorno dell'origine! Spero di essermi spiegato, in ogni caso guarda questo grafico, non è bellissimo ma dovrebbe chiarirti un po' le idee..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4y^2%2F%28x^3%2By^3%29

[elipi1]

uhm... intuitivamente capisco cosa vuoi dire... però in passato mi sono capitati esercizi in cui eventualmente si poteva risolvere estendendo con continuità a tutta la retta su cui la funzione non era definita, tipo questo

$ f(x,y)=(e^(x^2)-e^(y^2))/(x+y) $ con $ y!=-x $

che si estende ponendo a zero su $ y=-x $

e quindi ho pensato che anche in questo caso ci fosse modo di fare una cosa simile...

[Giuly191]

Buona osservazione!
Prova un po', in quel caso, a fare il limite di quella funzione per $(x,y)->(x_0,-x_0)$ e cerca di capire cosa cambia rispetto a quello di prima!

[enr87]

"Giuly19":E' un esercizio stupido se ci pensi, perchè ti sta chiedendo se esiste il limite di una funzione che su un'intera retta passante per il punto su cui devi studiare il limite non è definita, siccome si annulla il suo denominatore. La risposta è ovviamente no, pensa a come potresti trovare un $delta$ tale che per ogni $(x,y)$ per cui $|| ((x,y))||0$; non puoi fare tutto ciò perchè la funzione tende a $pmoo$ quando $(x,y)->(x_0,-x_0)$, e ciò succede anche nel più piccolo intorno dell'origine! Spero di essermi spiegato, in ogni caso guarda questo grafico, non è bellissimo ma dovrebbe chiarirti un po' le idee..
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^4y^2%2F%28x^3%2By^3%29

stai attento, il punto di accumulazione è l'origine, ed è ben diverso dal considerare qualsiasi altro punto della retta. in coordinate polari questo si vede bene, ed è corretto il risultato di elipi

[Giuly191]

Non capisco cosa vuoi dire, quella funzione non è continua nell'origine e il mio ragionamento mi sembra filare anche se non ho mai usato in vita mia le coordinate polari. Se sei convinto del contrario potresti spiegarti un attimino meglio?

[enr87]

la funzione non è che non è continua, bensì non esiste nell'origine. anche se per puro caso non fosse continua nell'origine, il lim esisterebbe lo stesso, infatti il limite ti dice l'andamento della funzione nei punti vicinissimi al punto di accumulazione, ma non nel punto stesso.

senza le coordinate polari non mi viene in mente un sistema per verificarlo, ma possiamo girare la questione così se vuoi: trova due restrizioni del dominio per cui il limite assuma due valori diversi, allora hai verificato che il limite non esiste

[elipi1]

ok, se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere:

$ lim_((x,y) -> (x_{0},-x_{0})) (e^(x^2)-e^(y^2))/(x+y) = 2x_{0}e^(x_{0}^2) $

che in effetti in $ (0,0) $ fa zero...

"enr87":
stai attento, il punto di accumulazione è l'origine, ed è ben diverso dal considerare qualsiasi altro punto della retta. in coordinate polari questo si vede bene, ed è corretto il risultato di elipi

Però non capisco una cosa, io ero abituata che se il limite in coordinate polari esisteva allora il limite esisteva ed era precisamente quello, dunque non andavo nemmeno a cercare due direzioni in cui trovare limiti diversi... Non capisco bene quello che cerchi di spiegare...

[Giuly191]

Ok forse hai ragione, ero convinto di una cosa sbagliata.
Quindi quella funzione può essere prolungata per continuità nell'origine ponendola uguale a $0$ in quel punto e quel limite esiste?
In pratica non è vero che la funzione tende a $pmoo$ anche nel più piccolo intorno dell'origine?

[elipi1]

no però scusami come hai fatto a usare taylor? Questo va bene in un intorno di zero ma non aiuta a dire che è prolungabile su tutta la retta... O sbaglio?

[Giuly191]

Infatti mi sta che te ne sto dicendo altre! Lascia stare, sto cancellando quello che ho scritto. Ci penso un po' e ti rispondo!

[elipi1]

Vai tranquillo, grazie, ci penso anche io un altro po'! A dopo!

[Giuly191]

Ok rigorosamente funziona così:
sviluppando con taylor la funzione a numeratore in un intorno di $(x_0,-x_0)$ si ottiene
$e^(x^2)-e^(y^2)=2x_0e^((x_0)^2)(x-x_0)+2x_0e^((x^0)^2)(y+x_0)+o(sqrt(x^2+y^2))=(y+x)2x_0e^((x_0)^2)+o(sqrt(x^2+y^2))$
e quindi la funzione si può prolungare a tutta la retta $y=-x$ ponendo $f(x_0,-x_0)=2x_0e^((x_0)^2)$.
Prima ovviamente ho sbagliato il limite perchè facevo lo sviluppo a occhio.

[elipi1]

Ok, ora sì, tornava uguale anche a me infatti.
...E quindi per quanto riguarda l'esercizio per cui ho aperto il topic cosa dovrei concludere? E' un errore del testo e il mio risultato è corretto, la funzione si può estendere con continuità al punto zero oppure no? Nei vari discorsi mi sono sinceramente un po' persa...
Grazie di tutto!

[enr87]

"elipi":ok, se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere:

$ lim_((x,y) -> (x_{0},-x_{0})) (e^(x^2)-e^(y^2))/(x+y) = 2x_{0}e^(x_{0}^2) $

che in effetti in $ (0,0) $ fa zero...


[quote="enr87"]
stai attento, il punto di accumulazione è l'origine, ed è ben diverso dal considerare qualsiasi altro punto della retta. in coordinate polari questo si vede bene, ed è corretto il risultato di elipi

Però non capisco una cosa, io ero abituata che se il limite in coordinate polari esisteva allora il limite esisteva ed era precisamente quello, dunque non andavo nemmeno a cercare due direzioni in cui trovare limiti diversi... Non capisco bene quello che cerchi di spiegare...[/quote]

qui mi riferivo al primo limite, quello del primo post per intenderci. è corretta la tua affermazione: le coordinate polari ti permettono di vedere la funzione in ogni punto di un intorno del punto di accumulazione. per curiosità, che libro usi? e poi mi sta venendo un altro dubbio: la funzione era definita in qualche altro modo per y=-x?

[Giuly191]

Enr potresti rispondere alla domanda che ti abbiamo fatto sia io che elipi?
In conclusione la funzione del primo esercizio si può prolungare per continuità nell'origine ponendo $f(ul(0))=0$?

[enr87]

scusate, ma la funzione non la definiamo noi, la definiscono quelli che hanno dato l'esercizio. ho appunto editato il post sopra, chiedendo come fosse precisamente definita la funzione, ovvero se fosse definita anche per y=-x. aspetto elipi e poi rispondo

[elipi1]

Ok, l'esercizio era semplicemente così:

Dire se esiste

$ lim_{(x,y)->(0,0),x+y!=0}(x^4y^2)/(x^3+y^3) $

...e la risposta secondo lui è no.

(uso la raccolta di prove di analisi di ghisi-spagnolo)

[enr87]

strano che ci siano le soluzioni ma non le giustificazioni. se è così resto dell'idea precedente, cioè che si tratti di un errore.
riguardo al prolungamento per continuità: se noi prolunghiamo una funzione, la cambiamo.
comunque se preferisci aspettare il parere di qualcun altro vedi tu, io ho detto la mia in merito

[elipi1]

Eh lo so è così purtroppo! Va bene grazie a tutti se dovessi avere altre correzioni anche fuori dal forum vi farò sapere!

[Giuly191]

Enr però una funzione o è prolungabile per continuità in un punto o non lo è, va bene che la stiamo cambiando, ma la risposta è o sì o no.
Se aggiungo l'origine al dominio di quella funzione e dico che in quel punto vale $0$, allora è continua in $ul(0)$?
Avrei detto di no fino a ieri, ma mi hai convinto del contrario. Però dimmi almeno che è quello che pensi anche tu, altrimenti non so più in cosa credere! XD