Limite funzione in 2 variabili

[elipi1]

Salve a tutti! Allora ho qualche problema con questo limite:

$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4y^2)/(x^3+y^3) $

con $ x+y != 0 $

Dunque io ho provato a passare in polari ricavandone

$ lim_( r -> 0) (r^3(cos t)^4(sint)^2)/((cost)^3+(sint)^3) $

e da qui a dire il vero io avrei detto che siccome $ y != -x $ il denominatore non si annulla mai e quindi il limite è zero...
Questo prima di scoprire che la soluzione è che non esiste... Dove sbaglio?
Grazie a tutti!

[enr87]

non capisco cosa intendi per prolungare una funzione per continuità, o meglio, conosco questo significato per funzioni di una variabile che presentano discontinuità di terza specie. in analisi 2 non ne ho sentito parlare, per cui proprio non ti so dire.
se la domanda è "posso renderla continua nell'origine?" la risposta è sì, basta estenderla uguale a 0 in tale punto

[Giuly191]

Sì in effetti l'espressione è praticamente senza senso XD
Comunque intendevo quello, grazie per la risposta.

[elipi1]

RISOLTO!

Allora stamattina ho chiesto al mio professore che mi ha fatto notare che se prendo $ y=-x+x^6 $ viene:

$ lim_{x->0} (x^4(x^2+x^12-2x^7))/(x^3-x^3+3x^8-3x^13+x^18) $ e cioè

$ lim_{x->0} (x^6(1+x^10-2x^5))/(x^8(3-3x^5+x^10)) $ che tende all' $ oo $ ...

Quindi il limite non esiste perchè si ottengono limiti diversi per diverse direzioni...
Mi ha detto di lasciar perdere le coordinate polari in questi casi perchè l'angolo può dipendere anche dal raggio man mano che ci si avvicina al punto e quindi trarre, come in questo caso, in inganno. Piuttosto mi ha suggerito di prendere appunto delle curve molto prossime a quella su cui non è definita la funzione...

[enr87]

fa in modo di avvicinarsi molto alla retta in cui non è definita f. in realtà abbiamo sbagliato anche ad adoperare le coordinate polari, o meglio, non avevamo completato l'opera: una volta trovato il limite bisogna anche verificare che il sup tra $0$ e $2pi$ (escludendo $3/4 pi$) di $|g(rho, theta) - 0| < epsilon$, con $epsilon$ arbitrario positivo, per $rho to 0$. effettivamente per angoli tendenti a $3/4pi$ si dovrebbe ottenere una forma indeterminata, e la faccenda diventa brutta da risolvere.
comunque l'angolo non dipende dal raggio, la cosa che trae in inganno è l'aver trascurato questo passaggio. scusami se ieri ti ho deviata.

[Giuly191]

Lasciando stare le coordinate polari, il mio ragionamento intuitivo era corretto, o sbagliavo comunque?

pensa a come potresti trovare un $delta$ tale che per ogni $(x,y)$ per cui $|| ((x,y))||0$; non puoi fare tutto ciò perchè la funzione tende a $pmoo$ quando $(x,y)->(x_0,-x_0)$, e ciò succede anche nel più piccolo intorno dell'origine!

[enr87]

il problema di quella frase è che non la giustifichi, ovvero dici che f tende a infinito nell'intorno dei punti della retta. ma bisogna dimostrarlo, in particolare nell'origine. per cui a posteriori ti dico che è corretta, ma solo perchè adesso sappiamo il valore del limite. questo è il mio modo di vedere

edit
aggiungo un'osservazione che mi è venuta in mente: a prima vista poteva sembrare che il numeratore fosse un termine infinitesimo di ordine maggiore del denominatore. d'altra parte, pensare ciò sarebbe un errore: abbiamo una sottrazione fra termini elevati alla terza, cioè ad esponente dispari, il che significa che se la x e la y hanno segno opposto, non possiamo dire nulla a priori su quello che succede ai termini di grado 3. la restrizione usata fa infatti vedere come questi si possano annullare, e quindi il denominatore possa essere un infinitesimo di ordine maggiore di 3.
in caso di somma di termini ad esponenti pari, questa considerazione non vale più: il termine di grado minimo non si annulla mai