Limite funzione in 2 variabili
Salve a tutti,
studiando la continuità di una funzione in due variabili ho scoperto che non riesco a fare questo limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy) $
Devo dimostrare che fa zero...
se non ci fosse quell' xy al denominatore non avrei problemi ma purtroppo c'è.
Qualcuno sa darmi un consiglio?
studiando la continuità di una funzione in due variabili ho scoperto che non riesco a fare questo limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy) $
Devo dimostrare che fa zero...
se non ci fosse quell' xy al denominatore non avrei problemi ma purtroppo c'è.
Qualcuno sa darmi un consiglio?
Risposte
A numeratore gli infinitesimi sono di ordine 4, a denominatore di ordine 2, quindi... Se proprio vuoi farlo con le disequazioni, ti ricordo che
$$(x\pm y)^2=x^2+y^2\pm 2xy$$
$$(x\pm y)^2=x^2+y^2\pm 2xy$$
scusami ma non riesco a capire... cosa intendi dire?
Tu come lo risolveresti quel limite? E io intendo dire esattamente quello che ho detto. Sai cosa significa infinitesimo? E che metodo usi per maggiorare/minorare la funzione nel limite?
Io avevo provato se quell' xy fosse $o(x^2+y^2) $ ma non lo è... ho intuito che devo dimostrare che $x^2+y^2-xy > x^2+y^2"$ in modo tale da ricondurmi ad un limite che tende a zero... ma non riesco a fare questa maggiorazione...
Ecco perché io ti ho suggerito quella "formuletta": pensaci un po'.
Allora vedete se ho fatto bene:
$ (x-y)^2= x^2+y^2-2xy >=0$
$x^2+y^2>=2xy$
$- ((x^2+y^2)/2)<= -xy$
$x^2+y^2-((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$
$((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$
quindi $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy)<= lim_((x,y) -> (0,0)) 2(x^4+2y^4)/(x^2+y^2) $
che tende a zero
$ (x-y)^2= x^2+y^2-2xy >=0$
$x^2+y^2>=2xy$
$- ((x^2+y^2)/2)<= -xy$
$x^2+y^2-((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$
$((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$
quindi $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy)<= lim_((x,y) -> (0,0)) 2(x^4+2y^4)/(x^2+y^2) $
che tende a zero
Sì, mi pare che torni.
Io l' avrei provato a fare con le coordinate polari, ma così come l' hai fatto tu è più bello. Dove t' è venuta l' intuizione per usare questa maggiorazione?
la funzione verrebbe con qualche calcolo
$f(ρ , θ)= ρ^2(cos^4θ+2sen^4θ)/(1+cosθsenθ)$
Se fai il limite per $ρ->0$ vedrai che farà $0$ qualunque sia $θ$.Quindi non tipende da $θ$, anche perchè qualunque sia $θ$ il numeratore sarà sempre non nullo in quanto $senθcosθ<1$ sempre.
E' sbagliato il mio ragionamento?
la funzione verrebbe con qualche calcolo
$f(ρ , θ)= ρ^2(cos^4θ+2sen^4θ)/(1+cosθsenθ)$
Se fai il limite per $ρ->0$ vedrai che farà $0$ qualunque sia $θ$.Quindi non tipende da $θ$, anche perchè qualunque sia $θ$ il numeratore sarà sempre non nullo in quanto $senθcosθ<1$ sempre.
E' sbagliato il mio ragionamento?
Io avrei impiegato il teorema di continuità per funzioni omogenee: essendo omogenea di grado 2 è continua in $(0,0)$ - non solo, è anche ivi differenziabile! 
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