Limite funzione in 2 variabili

spifabio
Salve a tutti,
studiando la continuità di una funzione in due variabili ho scoperto che non riesco a fare questo limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy) $
Devo dimostrare che fa zero...

se non ci fosse quell' xy al denominatore non avrei problemi ma purtroppo c'è.
Qualcuno sa darmi un consiglio?

Risposte
ciampax
A numeratore gli infinitesimi sono di ordine 4, a denominatore di ordine 2, quindi... Se proprio vuoi farlo con le disequazioni, ti ricordo che
$$(x\pm y)^2=x^2+y^2\pm 2xy$$

spifabio
scusami ma non riesco a capire... cosa intendi dire?

ciampax
Tu come lo risolveresti quel limite? E io intendo dire esattamente quello che ho detto. Sai cosa significa infinitesimo? E che metodo usi per maggiorare/minorare la funzione nel limite?

spifabio
Io avevo provato se quell' xy fosse $o(x^2+y^2) $ ma non lo è... ho intuito che devo dimostrare che $x^2+y^2-xy > x^2+y^2"$ in modo tale da ricondurmi ad un limite che tende a zero... ma non riesco a fare questa maggiorazione...

ciampax
Ecco perché io ti ho suggerito quella "formuletta": pensaci un po'.

spifabio
Allora vedete se ho fatto bene:
$ (x-y)^2= x^2+y^2-2xy >=0$
$x^2+y^2>=2xy$
$- ((x^2+y^2)/2)<= -xy$
$x^2+y^2-((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$
$((x^2+y^2)/2)<=x^2+y^2-xy$

quindi $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^4+2y^4)/(x^2+y^2-xy)<= lim_((x,y) -> (0,0)) 2(x^4+2y^4)/(x^2+y^2) $
che tende a zero

ciampax
Sì, mi pare che torni.

DonkeyShot93
Io l' avrei provato a fare con le coordinate polari, ma così come l' hai fatto tu è più bello. Dove t' è venuta l' intuizione per usare questa maggiorazione?

la funzione verrebbe con qualche calcolo
$f(ρ , θ)= ρ^2(cos^4θ+2sen^4θ)/(1+cosθsenθ)$

Se fai il limite per $ρ->0$ vedrai che farà $0$ qualunque sia $θ$.Quindi non tipende da $θ$, anche perchè qualunque sia $θ$ il numeratore sarà sempre non nullo in quanto $senθcosθ<1$ sempre.
E' sbagliato il mio ragionamento?

Brancaleone1
Io avrei impiegato il teorema di continuità per funzioni omogenee: essendo omogenea di grado 2 è continua in $(0,0)$ - non solo, è anche ivi differenziabile! ;)

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