Limite funzione di due variabili
ciao a tutti.
mi potete aiutare con questo esercizio?
stabilire se la seguente funzione è continua nel suo dominio:
f(x,y)=(x^3*y^3)/(x^3+y^3), per y<>-x;
f(x,y)=0, per (x,y)=(0,0).
grazie
ciao
Alfi
mi potete aiutare con questo esercizio?
stabilire se la seguente funzione è continua nel suo dominio:
f(x,y)=(x^3*y^3)/(x^3+y^3), per y<>-x;
f(x,y)=0, per (x,y)=(0,0).
grazie
ciao
Alfi
Risposte
Allora ti consiglierei di passare in polari,la verifica del limite poi è immediata:
diventa ro^6(cos^3*sin^3)/ro^3(cos^3) + ro^3(sin^3)
con ro=> 0
raccogliendo ro^3 al den diventa:
ro^3(cos^3*sin^3)/cos^3+sin^3
siccome ro=>0 l'intera frazione si conduce a :
0/cos^3+sin^3
che è = 0
il limite è verificato,la funzione è continua nell'origine.
Ciao!
Marvin
diventa ro^6(cos^3*sin^3)/ro^3(cos^3) + ro^3(sin^3)
con ro=> 0
raccogliendo ro^3 al den diventa:
ro^3(cos^3*sin^3)/cos^3+sin^3
siccome ro=>0 l'intera frazione si conduce a :
0/cos^3+sin^3
che è = 0
il limite è verificato,la funzione è continua nell'origine.
Ciao!
Marvin
sì, effettivamente è quello che ho fatto anch'io.
ma mi è venuto un dubbio.
e cioè che per teta=3/4pi + kpi il den si annulla, quindi il limite dipende comunque da teta, ovvero dalla direzione da cui ci si avvicina a zero.
il dubbio, in giornata, dovrei averlo risolto e vi chiedo a questo punto se va bene questa spiegazione.
la direzione 3/4pi è proprio la retta su cui la funzione non è definita. ovvero, ricordando la definizione di limite, devo trovare un intorno circolare del punto contenuto nel dominio(escluso al più il punto stesso).
quindi il risultato vale (e viene 0), proprio perchè la direzione su cui ci possono essere dubbi in realtà non rientra nel dominio della funzione e quindi la devo trascurare.
in effetti, anche con la calcolatrice, effettivamente ho verificato che in punti che sono sia vicini alla retta incriminati che all'origine il risultato è prossimo a zero. mentre rimanendo vicino alla retta, ma allontanandosi dall'origine il limite tende subito a numeri molto grandi (infinito).
analiticamente, credo si debba dire che la quantità che dipende da teta, cioè sia num che den, rimane limitata, fintantochè teta è diverso da 3/4pi (che non appartiene al dominio), e quindi moltiplicata per ro che tende a zero, il limite fa zero.
un po' prolisso?
scusate. ma è corretto? e soprattutto, è necessario fare questa considerazione o è una sega mentale?
saluti
Alfi
ma mi è venuto un dubbio.
e cioè che per teta=3/4pi + kpi il den si annulla, quindi il limite dipende comunque da teta, ovvero dalla direzione da cui ci si avvicina a zero.
il dubbio, in giornata, dovrei averlo risolto e vi chiedo a questo punto se va bene questa spiegazione.
la direzione 3/4pi è proprio la retta su cui la funzione non è definita. ovvero, ricordando la definizione di limite, devo trovare un intorno circolare del punto contenuto nel dominio(escluso al più il punto stesso).
quindi il risultato vale (e viene 0), proprio perchè la direzione su cui ci possono essere dubbi in realtà non rientra nel dominio della funzione e quindi la devo trascurare.
in effetti, anche con la calcolatrice, effettivamente ho verificato che in punti che sono sia vicini alla retta incriminati che all'origine il risultato è prossimo a zero. mentre rimanendo vicino alla retta, ma allontanandosi dall'origine il limite tende subito a numeri molto grandi (infinito).
analiticamente, credo si debba dire che la quantità che dipende da teta, cioè sia num che den, rimane limitata, fintantochè teta è diverso da 3/4pi (che non appartiene al dominio), e quindi moltiplicata per ro che tende a zero, il limite fa zero.
un po' prolisso?
scusate. ma è corretto? e soprattutto, è necessario fare questa considerazione o è una sega mentale?
saluti
Alfi
Io non saprei risponderti sinceramente.
Tutte gli studi che ho fatto io una volta verificato che la frazione => 0 da ro non mi preoccupavo di vedere dove si annulla anche il denominatore.
Credo cmq che l'assunzione che hai fatto tu sia corretta,per logica andando a valutare la funzione su una restrizione lungo la quale la funzione non è definita mi sembra abbastanza logico che venga una forma di indeterminazione.
Poi magari sbaglio---
Tutte gli studi che ho fatto io una volta verificato che la frazione => 0 da ro non mi preoccupavo di vedere dove si annulla anche il denominatore.
Credo cmq che l'assunzione che hai fatto tu sia corretta,per logica andando a valutare la funzione su una restrizione lungo la quale la funzione non è definita mi sembra abbastanza logico che venga una forma di indeterminazione.
Poi magari sbaglio---
grazie Marvin.
alla prossima.
Alfi
alla prossima.
Alfi
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