Limite funzione composta

[Sk_Anonymous]

Ciao, non ho ben capito la dimostrazione del teorema intitolato "limite della funzione composta", oppure anche "teorema di cambio di variabile nel limite". Il teorema in questione afferma che, se una funzione $g(x)$, per $x->x_0$ ha per limite $t_0$ e una funzione $f(t)$, per $t->t_0$, ha per limite $l$, allora la funzione composta $f(g(x))$ ha come limite il valore $l$ per $x->x_0$. La dimostrazione di cui sono in possesso, anzichè parlare di funzioni, parla di successioni, nel senso che le funzioni sopra citate vengono trattate come successioni; in particolare, considerata una successione di ascisse $x_n$ che tende a $x_0$ per $n->+oo$, il libro dice che $g(x_n)->t_0$; quindi conclude la tesi. Non capisco cosa sia cambiato nel considerare le funzioni come successioni, in quanto mi sembra che non è stato dimostrato nulla. Grazie a chi risponderà, ciao

[Zero87]

"Soscia":La dimostrazione di cui sono in possesso, anzichè parlare di funzioni, parla di successioni, nel senso che le funzioni sopra citate vengono trattate come successioni

Così può sembrare, ma in realtà non è così. Quando si parla di successione (e basta) si intende una successione numerica, dunque una successione di valori, infatti, procedendo in quello che dici

"Soscia":considerata una successione di ascisse $x_n$ che tende a $x_0$ per $n->+oo$

ora, dice una "successione di ascisse" quindi, detto terra terra, una "successione di valori di x" (che chiamo $x_n$). Questa non è la funzione, ma una successione ai quali - in seguito - si applica la funzione stessa.
Nel senso, ad ogni $x_n$ corrisponde una $g(x_n)$ dove $x_n\in \RR$ e anche $g(x_n)\in \RR$.

Questo tipo di considerazioni, cioè prendere una successione di valori e applicarla ad una certa funzione per far vedere che succede qualcosa è un discorso che ho visto in moltissime dimostrazioni da analisi III in poi. Su analisi I certe cose sono un pochino astratte e possono essere difficili da capire, ma, andando avanti, si riesce a vedere una luce alla fine del tunnel. Personalmente ringrazio gugo82 e dissonance per il supporto morale.

Comunque vado avanti.

"Soscia":in particolare, considerata una successione di ascisse $x_n$ che tende a $x_0$ per $n->+oo$, il libro dice che $g(x_n)->t_0$; quindi conclude la tesi.

Se consideri una successione di valori per le ascisse che tende a $x_0$, hai per ipotesi che, applicando ad ogni valore della successione la funzione $g$, quest'ultima tende a $t_0$.

Ora, lo slancio mentale che "secondo me non è affatto banale" e che da analisi III in poi sarà pane quotidiano è proprio questo.
-I valori delle ascisse sono dei valori reali (quindi numeri), allora quando considero una successione di valori di ascisse sto considerando dei valori numerici.
-Una funzione $f:\RR->\RR$ è un'applicazione che associa ad un valore reale un altro valore reale. In altre parole, $x_n\in \RR \forall n$ a cui corrisponde $g(x_n)\in \RR \forall n$.

Ho specificato queste 2 cose. Sento già tante persone che mi ridono dietro per quello che ho scritto ma, venendo da una triennale in matematica economica, mi sono ritrovato una magistrale in matematica (pura) e l'unica cosa che ho capito è che di matematica "vera" non sapevo nulla. Immagino che qualcuno dirà "hai detto cose inutili che si sanno" beh... io non le sapevo!!!