Limite funzione a 2 variabili
Salve a tutti ragazzi!
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un limite di una funzione a 2 variabili, un pò "diverso" da quelli classici che trovo sui libri (premetto che sono autodidatta, e ogni tanto mi diverto con questi esercizietti che trovo in rete).
Il limite è il seguente:
$lim_(x,y->0,0)(|y|x^5)/((x^5+y^5)sqrt(x^2+y^2)$
Il procedimento che ho seguito è il seguente:
pongo $x=0$:
$lim_(y->0)(0)/(y^6)=+oo
pongo $y=0$:
$lim_(x->0)(0)/(x^6)=+oo
Poiché i due limiti esistono, e hanno lo stesso valore, allora $+oo$ è il valore candidato come soluzione (giusto? pecco in teoria perchè sono autodidatta
).
Quindi per verificare se è effettivamente vero, provo l'avvicinamento al valore in qualunque direzione. Ossia sostituisco $y=mx$ (giusto?):
$lim_(x->0)(|mx|)/(x(1+m^5)sqrt(m^2+1))$ (non scrivo tutti i passaggi abbastanza banali, questo è direttamente quello che ottengo semplificando qua e là, spero che i miei calcoli siano giusti!!).
Come mi comporto ora? Non mi pare che questo rapporto possa mai essere uguale a $+oo$, o sbaglio?
Quindi il limite della funzione non esiste??
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un limite di una funzione a 2 variabili, un pò "diverso" da quelli classici che trovo sui libri (premetto che sono autodidatta, e ogni tanto mi diverto con questi esercizietti che trovo in rete).
Il limite è il seguente:
$lim_(x,y->0,0)(|y|x^5)/((x^5+y^5)sqrt(x^2+y^2)$
Il procedimento che ho seguito è il seguente:
pongo $x=0$:
$lim_(y->0)(0)/(y^6)=+oo
pongo $y=0$:
$lim_(x->0)(0)/(x^6)=+oo
Poiché i due limiti esistono, e hanno lo stesso valore, allora $+oo$ è il valore candidato come soluzione (giusto? pecco in teoria perchè sono autodidatta
).Quindi per verificare se è effettivamente vero, provo l'avvicinamento al valore in qualunque direzione. Ossia sostituisco $y=mx$ (giusto?):
$lim_(x->0)(|mx|)/(x(1+m^5)sqrt(m^2+1))$ (non scrivo tutti i passaggi abbastanza banali, questo è direttamente quello che ottengo semplificando qua e là, spero che i miei calcoli siano giusti!!).
Come mi comporto ora? Non mi pare che questo rapporto possa mai essere uguale a $+oo$, o sbaglio?
Quindi il limite della funzione non esiste??
Risposte
Posso azzardare qualcosina...
Io credo che il limite sia $0$ perchè se ci fai caso ottieni
$lim_(x,y->0,0) (0/y^6)
che anche senza risolvere va a 0 perchè un numero diviso 0 è 0. stessa cosa ottieni per l'altro limite con $x$
Restringendoti a $y=mx$, hai la $x$ a numeratore, che quando tende a 0 annulla tutta la frazione
Spero di non dire cavolate
Io credo che il limite sia $0$ perchè se ci fai caso ottieni
$lim_(x,y->0,0) (0/y^6)
che anche senza risolvere va a 0 perchè un numero diviso 0 è 0. stessa cosa ottieni per l'altro limite con $x$
Restringendoti a $y=mx$, hai la $x$ a numeratore, che quando tende a 0 annulla tutta la frazione
Spero di non dire cavolate
Uffa è vero, sono un rimba 
Anzitutto i due limiti vanno a zero, e non a $+oo$ come avevo scritto. Perdono.
Ad ogni modo il limite con la $m$ non mi convince. Perchè dovrebbe andare a zero?
Se non ci fosse il valore assoluto, senza esistazione semplificherei le $x$. Di conseguenza il limite dipenderebbe solo da $m$, il che significa che il limite non esiste, no?
Però c'è il valore assoluto, quindi che faccio??
Anzitutto i due limiti vanno a zero, e non a $+oo$ come avevo scritto. Perdono.
Ad ogni modo il limite con la $m$ non mi convince. Perchè dovrebbe andare a zero?
Se non ci fosse il valore assoluto, senza esistazione semplificherei le $x$. Di conseguenza il limite dipenderebbe solo da $m$, il che significa che il limite non esiste, no?
Però c'è il valore assoluto, quindi che faccio??
Non avevo letto la x al denominatore... beh se in teoria spezzi il valore assoluto e consideri $x>0$ per $x->0+$ e successivamente l'altro caso puoi semplificare la x no? e resta un limite in m... quindi teoricamente il limite non esiste allora, pero' non ne sono sicuro a sto punto... >-<
Occhio che quando porti $x^2$ fuori dalla radice, questa diventa $|x|$ e non semplicemente $x$.
Quindi, visto che anche $|x|$ si semplifica al numeratore e denominatore, ti rimane la costante $|m|/((1+m^5)*\sqrt(1+m^2))$ che è anche il limite della tua funzione sulla retta $y=mx$.
Visto che il valore di tale limite dipende fortemente dalla scelta della retta, la tua funzione non ha limite in $(0,0)$.
Quindi, visto che anche $|x|$ si semplifica al numeratore e denominatore, ti rimane la costante $|m|/((1+m^5)*\sqrt(1+m^2))$ che è anche il limite della tua funzione sulla retta $y=mx$.
Visto che il valore di tale limite dipende fortemente dalla scelta della retta, la tua funzione non ha limite in $(0,0)$.
Giustissimo!! Mi sono perso in un bicchiere d'acqua, perchè alla fine era solo un passaggio aritmetico.
Ringrazio Aryma e Gugo82 per il prezioso aiuto
Ringrazio Aryma e Gugo82 per il prezioso aiuto
Figurati *si sente utile dopo aver tartassato tutti di domande *
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