Limite funzione

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo calcolare il seguente limite:
$lim_(x->+oo) x(6e^(-x^2) - 4e^(-2x^2))$
posso utilizzare Taylor o de l'Hopital. Ho provato con quest'ultimo ma le cose al solito si complicano ...

Grazie anticipatamente.

[gugo82]

Non serve utilizzare né l'uno né l'altro... Mai sentito parlare di infinitesimi d'ordine superiore?

[Summerwind78]

Ciao

per prima cosa ti suggerirei di ricordare che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti

nel tuo caso hai una somma quindi la spezzerei in due limiti separati


[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} 6xe^{-x^{2}} - \lim_{x\rightarrow \infty} 4xe^{-2x^{2}}[/tex]


faccio il ragionamento solo sul primo dei due addendi, per il secondo è identico


direi che si posso usare due ragionamenti diversi per arrivare allo stesso risultato

ragionamento 1) (più "intuitivo" - quella suggerita da gugo82)

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} 6xe^{-x^{2}} =6 \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}[/tex]

sia il numeratore che il denominatore vanno ad infinito, questo è vero, ma il denominatore è un esponenziale, e per giunta con esponente al quadrato, quindi va ad infinito molto prima del numeratore pertanto il limite non può che essere pari a $0$

ragionamento 2)

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} 6xe^{-x^{2}} =6 \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}[/tex]

sia il numeratore che il denominatore sono derivabili quindi applico de l'Hopital e ottengo

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}= \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{d}{dx}x}{\frac{d}{dx}e^{x^{2}}}= \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{2xe^{x^{2}}}= \frac{1}{2\cdot\infty\cdot \infty} = 0[/tex]

spero di esserti stato di aiuto

Ciao

[gbspeedy]

$ f(x)=x(6/(e^(x^2)) -4/(e^(2x^2)))$
fai il denominatore comune e ottieni $ 2(x(3e^(x^2)-2))/(e^(2x^2))$
applica de L'Hospital portando il 2 davanti al limite
e dovresti ottenere 2 $ lim_(x->oo) (3x)/(2e^(x^2))=0 $

[brownbetty1]

Grazie a tutti, non ho pensato a portare $e^-x^2$ al denominatore