Limite fratto con l'uso dei limiti notevoli.
Salve. Sono nuovo del forum e non so se sono nella sezione giusta. Mi servirebbe un aiuto con il limite seguente:
$lim_(x->0)(e^(-x^2) + 1 - 2cos x)/sin x^4$
Non posso utilizzare de l'Hopital, ma solo i limiti notevoli. Con de l'Hopital il risultato (e si trova) è $ 5/12 $
$lim_(x->0)(e^(-x^2) + 1 - 2cos x)/sin x^4$
Non posso utilizzare de l'Hopital, ma solo i limiti notevoli. Con de l'Hopital il risultato (e si trova) è $ 5/12 $
Risposte
Non vorrei sbagliarmi ma qui non serve Taylor? Sopra ci sarebbe una cancellazione di infinitesimi
"Cantor99":
Non vorrei sbagliarmi ma qui non serve Taylor? Sopra ci sarebbe una cancellazione di infinitesimi
Il problema è che il professore non ha ancora spiegato Taylor
.. Quindi solo con Taylor si può?
I limiti notevoli li puoi usare sui prodotti, sulle somme non si può fare granché di furbo.
Anche io sono d’accordo su taylor
Anche io sono d’accordo su taylor
Vi ringrazio del consiglio 
Ciao midsoul,
Benvenuto sul forum!
In effetti mi sa che hanno ragione Cantor99 e anto_zoolander... L'unica cosa che puoi fare eventualmente è "predisporre" in modo furbo il numeratore ed il denominatore coi limiti notevoli:
$ lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) + 1 - 2cos x}{sin x^4} = lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) - 1 + 2 - 2cos x}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^4} = lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{sin x^4}{x^4}}\cdot lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} $
Ma detto ciò per risolvere il secondo limite (che in effetti risulta $ 5/12 $ ) è necessario ricorrere agli sviluppi in serie...
Benvenuto sul forum!
In effetti mi sa che hanno ragione Cantor99 e anto_zoolander... L'unica cosa che puoi fare eventualmente è "predisporre" in modo furbo il numeratore ed il denominatore coi limiti notevoli:
$ lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) + 1 - 2cos x}{sin x^4} = lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) - 1 + 2 - 2cos x}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^4} = lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{sin x^4}{x^4}}\cdot lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} $
Ma detto ciò per risolvere il secondo limite (che in effetti risulta $ 5/12 $ ) è necessario ricorrere agli sviluppi in serie...
"pilloeffe":
Ciao midsoul,
Benvenuto sul forum!
In effetti mi sa che hanno ragione Cantor99 e anto_zoolander... L'unica cosa che puoi fare eventualmente è "predisporre" in modo furbo il numeratore ed il denominatore coi limiti notevoli:
$ lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) + 1 - 2cos x}{sin x^4} = lim_{x \to 0} frac{e^(-x^2) - 1 + 2 - 2cos x}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^4} = lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{frac{sin x^4}{x^4}\cdot x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{sin x^4}{x^4}}\cdot lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} $
Ma detto ciò per risolvere il secondo limite (che in effetti risulta $ 5/12 $ ) è necessario ricorrere agli sviluppi in serie...
Grazie mille pilloeffe, attenderò lo sviluppo in serie
"midsoul":
Grazie mille pilloeffe
Prego!
"midsoul":
attenderò lo sviluppo in serie
Giusto per completezza:
$ lim_{x \to 0} frac{- frac{e^(-x^2) - 1}{- x^2} + 2 frac{1 - cos x}{x^2}}{x^2} = lim_{x \to 0} frac{-1 + x^2/2 + o(x^4) + 2(1/2 - x^2/24 + o(x^4))}{x^2} = $
$ = lim_{x \to 0} 1/2 - 1/12 + o(x^2) = 5/12 $
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