Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale

[bugger]

Ciao a tutti,
Ho problemi a risolvere il seguente limite e spero che riusciate ad aiutarmi

$lim_{x\to0}\frac{ln(\frac{1}{1-x})+ln(\frac{1}{1+x})}{x(e^x-1)}$

Io sono riuscito a fare solo un passaggio, sperando sia giusto

$lim_{x\to0}\frac{ln(\frac{1+x}{1-x})}{x(e^x-1)}$

ma poi non riesco piu ad andare avanti.

Suppongo mi devo riferire al limite notevole

$lim_{f(x)\to0}\frac{ln(1+f(x))}{f(x)}$

Mi potreste aiutare per favore?

[Noisemaker]

in realtà quel passaggio iniziale non è corretto ... per le proprietà dei logaritmi hai che
\[\ln(a\cdot b)= \ln a+\ln b\]

dunque il tuo limite diventa
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\ln\left( \frac{1}{1-x}\right)+\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}{x(e^x-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle\ln\left( \frac{1}{1-x^2}\right) }{x(e^x-1)}\sim\lim_{x\to 0}\frac{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}-1 }{x^2}=....
\end{align}

[ciampax]

Scusa Noise, ma per il numeratore non è meglio fare così:

$\ln(1/{1-x})+\ln(1/{1+x})=\ln(1/{1-x^2})=-\ln(1-x^2) \sim -(-x^2)...$



P.S.: maledetto simbolo di similitudine che non esce con i dollari!
P.P.S.: ovviamente ho usato il fatto che $\ln 1/a=-\ln a$

[Noisemaker]

si certo... è che mi piace quell'approssimazione del $\ln f(x) \sim f(x)-1$ se $f(x)\to1$ ....

[bugger]

in conclusione? ancora non ho capito come lavora questo limite...
scusate ma dovete avere pazienza..

[Noisemaker]

la conclusione dovresti trarla tu