Limite forse banale...

[The_Mad_Hatter]

Sulle dispense del mio prof ho trovato scrito che in alcuni casi anche una corretta applicazione della regola di de l'Hopital può portare fuori strada... dopodiché dice anche (cito testualmente) "Possiamo anche pensare ad un'applicazione ripetuta delle regola, stando bene attenti ad alcune situazioni paradossali.", portando come esempio il seguente limite:

$lim_(x->+oo) sqrt(x^2+1)/(x-1)$

Allora io, incuriosito, ho provato ad applicare de l'Hopital ed in effetti si continua a saltellare da una forma di indeterminazione all'altra, ma non è questo il punto... perché poi ho provato a risolvere il limite senza de l'Hopital e mi è venuto un dubbio:

Si può semplicemente dire che, per $x->+oo$, $sqrt(x^2+1) ~= x$ e $x-1 ~= x$ e concludere che il limite dato è uguale a $lim_(x->+oo) x/x = lim_(x->+oo) 1 = 1$ ?

No perché mi è sembrato troppo semplice e vorrei evitare di fare figure di merda all'esame se ho usato le equivalenze asintotiche a ****

[Whisky84]

Si, l'applicazione delle stime asintotiche è corretta.

Qualora non avessi voluto usarle, questo sarebbe stato un procedimento alternativo:
[tex]\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x-1} = \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}{x(1-\frac{1}{x})}
=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x(1-\frac{1}{x})} =\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1-\frac{1}{x}}
=1[/tex]

Ho omesso il modulo portando fuori dalla radice perché per [tex]x\to\infty[/tex], [tex]x[/tex] è definitivamente positivo.

[Feliciano1]

Ciao senza nemmeno scomodare le equivalenze asintotiche che dici tu prova a mettere in evidenza x a numeratore e denominatore

edit: abbiamo scritto assieme la stessa cosa

[The_Mad_Hatter]

Già e vero.

L'errore è stato quello di dare per scontato che fosse una forma indeterminata (per il semplice fatto che era stato riportato come un "caso particolare" sulle dispense) a priori, ma in realtà era un limite davvero banale

Grazie a tutti! :p