Limite (forse) banale
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo limite:
$lim_{x->0} (x(e^x -1))/(e^x -1 -x)$
per risolverlo ho pensato di usare lo sviluppo di maclaurin di $e^x = 1 + x + o(x)$
mi troverei $(x(1+x+o(x) -1))/(1 + x + o(x) -1 - x) = (x(x + o(x))) /(o(x)) = x^2/(o(x)) + (o(x^2))/(o(x))$ che dovrebbe tendere a 0. Però il risultato dovrebbe essere 2! Cosa sbaglio?
Grazie
sono alle prese con questo limite:
$lim_{x->0} (x(e^x -1))/(e^x -1 -x)$
per risolverlo ho pensato di usare lo sviluppo di maclaurin di $e^x = 1 + x + o(x)$
mi troverei $(x(1+x+o(x) -1))/(1 + x + o(x) -1 - x) = (x(x + o(x))) /(o(x)) = x^2/(o(x)) + (o(x^2))/(o(x))$ che dovrebbe tendere a 0. Però il risultato dovrebbe essere 2! Cosa sbaglio?
Grazie
Risposte
Io il denominatore lo svilupperei fino al secondo ordine.
Perfetto:
$(x^2 + o(x^2))/(x^2/2 + o(x^2)) = x^2/x^2 (1+o(x^2)/x^2) / (1/2 + ((o(x^2)))/x^2) = (1 + o(1)) / (1/2 + o(1)) = 1/(1/2) = 2$
Giusto?
Come mai sviluppando al primo ordine mi veniva zero?? Cosa avevo sbagliato?
$(x^2 + o(x^2))/(x^2/2 + o(x^2)) = x^2/x^2 (1+o(x^2)/x^2) / (1/2 + ((o(x^2)))/x^2) = (1 + o(1)) / (1/2 + o(1)) = 1/(1/2) = 2$
Giusto?
Come mai sviluppando al primo ordine mi veniva zero?? Cosa avevo sbagliato?
Comunque applicando due volte De l'Hospital il risultato è lo stesso...
"marcodigital":
Come mai sviluppando al primo ordine mi veniva zero?? Cosa avevo sbagliato?
L'errore sta nel fatto che sviluppando fino al primo ordine non riesci a capire l'ordine di infinitesimo del denominatore e quindi non puoi concludere nulla sul valore del limite complessivo.
In pratica non si può stabilire il valore del limite
$lim_(x->0)x^2/(o(x))$
poiché tu sai che il numeratore è un infinitesimo di ordine 2 mentre il denominatore è un infinitesimo di ordine superiore a 1 però non sai quanto vale, di conseguenza il risultato potrebbe essere $0$ (se l'ordine è inferiore a $2$), un numero finito diverso da $0$ (se l'ordine è esattamente $2$) oppure $oo$ (se l'ordine è superiore a $2$).
Analogo discorso per l'altra frazione.
Ottimo, grazie per la spiegazione... Grazie a tutti
Ciao 
Non ti veniva zero, ti veniva semplicemente una cosa non ben definita: $o(x)$ e $o(x^2)$ non indicano funzioni, ma classi di funzioni. Per dire, se prendi $x^3 in o(x^2)$ e $x^2 in o(x)$ allora il rapporto $x^3/x^2$ tende a 0 quando x tende a zero, e se invece prendi $x^3 in o(x^2)$ e $3x^3 in o(x)$ allora il rapporto $x^3/(3x^3)$ tende a $1/3$ quando x tende a zero.
In altre parole, le funzioni in $o(x)$ e in $o(x^2)$ "non hanno abbastanza proprietà" affinché l'espressione $(o(x^2))/(o(x))$ abbia senso. Invece per esempio l'espressione $(o(x))/x$ tende a 0 quando x tende a zero, perché ogni funzione di $o(x)$ ha tale proprietà.
Edito: ho visto ora che ti hanno già risposto. Mi scuso se sono ridondante
Non ti veniva zero, ti veniva semplicemente una cosa non ben definita: $o(x)$ e $o(x^2)$ non indicano funzioni, ma classi di funzioni. Per dire, se prendi $x^3 in o(x^2)$ e $x^2 in o(x)$ allora il rapporto $x^3/x^2$ tende a 0 quando x tende a zero, e se invece prendi $x^3 in o(x^2)$ e $3x^3 in o(x)$ allora il rapporto $x^3/(3x^3)$ tende a $1/3$ quando x tende a zero.
In altre parole, le funzioni in $o(x)$ e in $o(x^2)$ "non hanno abbastanza proprietà" affinché l'espressione $(o(x^2))/(o(x))$ abbia senso. Invece per esempio l'espressione $(o(x))/x$ tende a 0 quando x tende a zero, perché ogni funzione di $o(x)$ ha tale proprietà.
Edito: ho visto ora che ti hanno già risposto. Mi scuso se sono ridondante
Figurati.. grazie
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