Limite forma +infinito - infinito?
ho questo limite e svolgendo i cancoli mi viene la forma indeterminata +infinito - infitino.. cm faccio? dove sbaglio
$lim_(x->0)(arctg (sinx - tgx)/(x^(2)-(e^(x) -1)^(3)))$
ho diviso e moltiplicado x l'argomento della arctg che va a uno , cosi lavoro solo cn l'argomento .. ma nn mi viene..
$lim_(x->0)(arctg (sinx - tgx)/(x^(2)-(e^(x) -1)^(3)))$
ho diviso e moltiplicado x l'argomento della arctg che va a uno , cosi lavoro solo cn l'argomento .. ma nn mi viene..
Risposte
Dopo il passaggio che hai già fatto userei gli sviluppi di McLaurin
Il procedimento all'argomento dell'[tex]\arctan(\cdot)[/tex] ti dà [tex]\arctan(0-0)=0[/tex], al denominatore hai [tex]0[/tex], forma indeterminata [tex]\frac{0}{0}[/tex], applichi De l'Hôpital.
Potresti anche ragionare in questo modo: $arctg(f(x))~f(x) , (f(x)->0)$ che è proprio il tuo caso. Poi per quanto riguarda il denominatore invece abbiamo un altro limite notevole che ci permette di dire $e^x-1~x => (e^x-1)^3~x^3$ quindi il tuo limite diventa:
$lim_(x->0)(sinx-tgx)/(x^2-x^3)$
il quale è più facile da studiare rispetto a quello iniziale. E' la prima cosa che mi è venuta in mente, magari però potrebbero farci comodo gli sviluppi in serie. Prova un pò a lavorarci su e posta il tuo ragionamento
$lim_(x->0)(sinx-tgx)/(x^2-x^3)$
il quale è più facile da studiare rispetto a quello iniziale. E' la prima cosa che mi è venuta in mente, magari però potrebbero farci comodo gli sviluppi in serie. Prova un pò a lavorarci su e posta il tuo ragionamento
Come dice Lorin, secondo me all'inizio ti conviene riportarti alla forma
$lim_(x->0) (sin(x)-tan(x))/(x^2-x^3)$
sfruttando:
$arctan(\epsilon_n) ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
$e^(\epsilon_n)-1 ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
A questo punto puoi usare varie "strade":
[list=1]
[*:aaklrqws]Sviluppo in serie di Taylor (Maclaurin)
Ti basta uno sviluppo arrestato al 3° ordine del seno e della tangente. Infatti:
$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
$tan(x) = x + x^3/3 + o(x^3)$
e quindi ottieni:
$lim_(x->0) (x - x^3/6 - x - x^3/3)/(x^2-x^3) = lim_(x->0) (- x^3/2)/(x^2-x^3)=0$
[/*:m:aaklrqws]
[*:aaklrqws]Definizione di tangente
Sai che $tan(x) = (sin(x))/(cos(x))$, quindi:
$lim_(x->0) (sin(x)-(sin(x))/(cos(x)))/(x^2-x^3)=lim_(x->0) (cos(x)sin(x)-sin(x))/(cos(x)(x^2-x^3))$
A questo punto sfrutti i seguenti asintotici:
$sin(\epsilon_n) ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
$1-cos(\epsilon_n) ~ (\epsilon_n)^2 / 2$ dal quale ricavi $cos(\epsilon_n) ~ 1- (\epsilon_n)^2 / 2 $ per $\epsilon_n -> 0$
E quindi, sostituisci:
$lim_(x->0) ((1- x^2 / 2)x-x)/((1- x^2 / 2)(x^2-x^3))=lim_(x->0) (-x^3)/(2x^2-2x^3-x^4+x^5)=0$[/*:m:aaklrqws][/list:o:aaklrqws]
$lim_(x->0) (sin(x)-tan(x))/(x^2-x^3)$
sfruttando:
$arctan(\epsilon_n) ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
$e^(\epsilon_n)-1 ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
A questo punto puoi usare varie "strade":
[list=1]
[*:aaklrqws]Sviluppo in serie di Taylor (Maclaurin)
Ti basta uno sviluppo arrestato al 3° ordine del seno e della tangente. Infatti:
$sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3)$
$tan(x) = x + x^3/3 + o(x^3)$
e quindi ottieni:
$lim_(x->0) (x - x^3/6 - x - x^3/3)/(x^2-x^3) = lim_(x->0) (- x^3/2)/(x^2-x^3)=0$
[/*:m:aaklrqws]
[*:aaklrqws]Definizione di tangente
Sai che $tan(x) = (sin(x))/(cos(x))$, quindi:
$lim_(x->0) (sin(x)-(sin(x))/(cos(x)))/(x^2-x^3)=lim_(x->0) (cos(x)sin(x)-sin(x))/(cos(x)(x^2-x^3))$
A questo punto sfrutti i seguenti asintotici:
$sin(\epsilon_n) ~ \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
$1-cos(\epsilon_n) ~ (\epsilon_n)^2 / 2$ dal quale ricavi $cos(\epsilon_n) ~ 1- (\epsilon_n)^2 / 2 $ per $\epsilon_n -> 0$
E quindi, sostituisci:
$lim_(x->0) ((1- x^2 / 2)x-x)/((1- x^2 / 2)(x^2-x^3))=lim_(x->0) (-x^3)/(2x^2-2x^3-x^4+x^5)=0$[/*:m:aaklrqws][/list:o:aaklrqws]
mgiaff, evita di scrivere per esteso la soluzione di un esercizio, una volta che sono stati dati dei suggerimenti solitamente si aspetta un tentativo di risoluzione di chi l'ha proposto o magari altre domande su passaggi specifici. Mi è stata fatta a suo tempo questa stessa osservazione, alla prossima 
P.S. prova a ricontrollare il tuo risultato
P.S. prova a ricontrollare il tuo risultato
"strangolatoremancino":
mgiaff, evita di scrivere per esteso la soluzione di un esercizio, una volta che sono stati dati dei suggerimenti solitamente si aspetta un tentativo di risoluzione di chi l'ha proposto o magari altre domande su passaggi specifici. Mi è stata fatta a suo tempo questa stessa osservazione, alla prossima
P.S. prova a ricontrollare il tuo risultato
si sono d'accordo...altrimenti si perde lo spirito del forum
mi sa che usero' hospital come ha suggerito j18eos perche' nn posso usare gli altri suggerimenti non avendoli ancora studiati.. forse si fanno in analisi II o III?
"strangolatoremancino":
P.S. prova a ricontrollare il tuo risultato
Che scemo xD ora correggo all'istante. Fare copia-incolla ogni tanto è dannoso xD soprattutto quando si sbaglia xD
Comunque, riguardo lo svolgimento completo, io mi metto nei panni di chi fa la domanda. Quando ho un dubbio su un esercizio, vorrei sempre potermi confrontare con una o più risoluzioni possibili. Sennò "perdo" (NB: tra virgolette) tempo a chiedere i 2000 passaggi che non so fare.
Chiaramente sta alla saggezza del lettore capire quanto "scopiazzare" senza aver capito una mazza e quanto, invece, leggere lo svolgimento una riga alla volta, cercando di proseguire da solo. Io, almeno, faccio così. E alla fine confronto.
Ad ogni modo, se lo spirito del forum è un altro, mi adeguo seduta stante.
"marygrazy":
mi sa che usero' hospital come ha suggerito j18eos perche' nn posso usare gli altri suggerimenti non avendoli ancora studiati.. forse si fanno in analisi II o III?
No diciamo che sono argomenti prettamente di analisi I
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