[Limite] : Forma Indeterminata da sciogliere
Salve a tutti!
Sto provando a sciogliere una forma indeterminata $ 0/0 $ del seguente limite :
$ lim_(x -> pi/2) (cos(x))/(2x - pi) $
Il quesito richiede il non utilizzo dell'Algoritmo di De Hospital e il non utilizzo dei limiti notevoli.
Ho provato a scomporre il coseno tramite le formule di bisezione oppure , dato che $cos x =sqrt(1 - sin^2 (x))$ ho provato anche a "smanettare numeratore-denominatore portando tutto sotto radice quadrata.
Ringrazio in anticipo.
Sto provando a sciogliere una forma indeterminata $ 0/0 $ del seguente limite :
$ lim_(x -> pi/2) (cos(x))/(2x - pi) $
Il quesito richiede il non utilizzo dell'Algoritmo di De Hospital e il non utilizzo dei limiti notevoli.
Ho provato a scomporre il coseno tramite le formule di bisezione oppure , dato che $cos x =sqrt(1 - sin^2 (x))$ ho provato anche a "smanettare numeratore-denominatore portando tutto sotto radice quadrata.
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Caio Matt 
personalmente non ci vedo molta utilità in questo esercizio, ma vabè...
Poniamo $t:=x-\pi/2$ e riscriviamo il limite:
\[\lim_{x\to \pi/2} \dfrac{\cos(x)}{2x-\pi}=\lim_{t \to 0}\dfrac{\cos (t+\pi/2)}{2t}=\lim_{t \to 0}\dfrac{-\sin (t)}{2t}\]
Portiamo fuori $-1/2$ dal limite: ci rimane da calcolare
\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}\]
che già sappiamo essere eguale ad $1$. Visto che non ci è concesso ricorrere al limiti notevole, possiamo utilizzare il teorema dei due carabinieri (che appunto è quello che si utilizza nella dimostrazione di questo limite).
Per $t\in (0,2\pi)$ si ha
\[\cos (t)\leq \dfrac{\sin (t)}{t}\leq 1\]
ed inoltre
\[\lim_{t \to 0^+} \cos (t)=1\]
per cui si ottiene (teorema dei carabinieri)
\[\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\sin t}{t}=1\]
Sfruttando poi che $f(t):=(\sin t )/ t$ è una funzione pari, abbiamo anche
\[\lim_{t \to 0^-} \dfrac{\sin t}{t}=1\]
Quindi possiamo concludere che il limite è proprio $1$, mentre il limite che volevamo calcolare all'inizio vale $-1/2$
Non mi viene in mente altro per ora. Puoi aspettare che risponda qualcuno più in gamba
Ciao!
Giuseppe
PS. Ah, $\sqrt(1-\sin^2 x)=|\cos x|$; in questo caso ti sarebbe comunque andata bene perchè per $x\to 0$ $\cos x >0$
personalmente non ci vedo molta utilità in questo esercizio, ma vabè...Poniamo $t:=x-\pi/2$ e riscriviamo il limite:
\[\lim_{x\to \pi/2} \dfrac{\cos(x)}{2x-\pi}=\lim_{t \to 0}\dfrac{\cos (t+\pi/2)}{2t}=\lim_{t \to 0}\dfrac{-\sin (t)}{2t}\]
Portiamo fuori $-1/2$ dal limite: ci rimane da calcolare
\[\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}\]
che già sappiamo essere eguale ad $1$. Visto che non ci è concesso ricorrere al limiti notevole, possiamo utilizzare il teorema dei due carabinieri (che appunto è quello che si utilizza nella dimostrazione di questo limite).
Per $t\in (0,2\pi)$ si ha
\[\cos (t)\leq \dfrac{\sin (t)}{t}\leq 1\]
ed inoltre
\[\lim_{t \to 0^+} \cos (t)=1\]
per cui si ottiene (teorema dei carabinieri)
\[\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\sin t}{t}=1\]
Sfruttando poi che $f(t):=(\sin t )/ t$ è una funzione pari, abbiamo anche
\[\lim_{t \to 0^-} \dfrac{\sin t}{t}=1\]
Quindi possiamo concludere che il limite è proprio $1$, mentre il limite che volevamo calcolare all'inizio vale $-1/2$
Non mi viene in mente altro per ora. Puoi aspettare che risponda qualcuno più in gamba
Ciao!
Giuseppe
PS. Ah, $\sqrt(1-\sin^2 x)=|\cos x|$; in questo caso ti sarebbe comunque andata bene perchè per $x\to 0$ $\cos x >0$
Ti ringrazio Giuseppe! Quindi dovrei ricorrere per forza al th. dei carabinieri (a quanto pare)? Non è possibile smontare la funzione e rimontarla usando qualche "arteficio"? 
Nel caso non trovo altro "do per buona" la risposta di Giuseppe.
Grazie ancora.
Nel caso non trovo altro "do per buona" la risposta di Giuseppe.
Grazie ancora.
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