Limite (forma indeterminata)
Salve a tutti. Cercando di svolgere questo limite $ lim_(x->-1^-)1/(e^((x-1)/(x+1))*(x+1)^(1/2)) $ mi sono sorte alcune domande :
1) Questo limite quale forma indeterminata ha? cioè a me sembra che venga $0*(-oo)$ in quanto $1/e^((x-1)/(x+1))->0)$ e $(x+1)^(1/2)->-oo$ ; però il mio prof. dice che in realtà si può vedere come una forma indeterminata di tipo $0/0$. Il che mi fa venire delle perplessità perchè allora può anche essere visto come $oo/oo$ dato che, dividendo le due funzione come $f(x)=e^((x-1)/(x+1))$ e $g(x)=(x+1)^(-1/2)$, il primo tende a +inf e il secondo anche.Se invece ho avuto un intuizione errata vi prego di correggermi e darmi qualche suggerimento in su come distinguere e manipolare tali forme...
2) Applicando De L' Hopital, e dunque derivando separatamente, continuo ad avere una forma indeterminata che proprio non riesco a evitare. Probabilmente dovrei seguire il metodo che utilizza il mio prof. e cioè quello di semplificare il limite adoperando alcune sostituzioni di variabile ( qui mi sorge un' altra domanda: in genere il cambio di variabile è utile quando ci sono termini che si ripetono? Ad es. in questo limite c'è $x+1$ che lo si trova sia come denominatore dell' esponente, sia sotto radice. Se no quando?), ma mi chiedo: è comunque possibile risolverlo attraverso vie alternative? Io ho provato con lo sviluppo di taylor ed effettivamente mi viene il risultato giusto, cioè $lim_(x->-1^-)f(x)=0$... Però anche qui avevo paura di sbagliare dato che per la perplessità di prima non sapevo se considerare le espressioni come degli infiniti o infinitesimi...
Spero di essere stato chiaro ... Grazie per l' attenzione
1) Questo limite quale forma indeterminata ha? cioè a me sembra che venga $0*(-oo)$ in quanto $1/e^((x-1)/(x+1))->0)$ e $(x+1)^(1/2)->-oo$ ; però il mio prof. dice che in realtà si può vedere come una forma indeterminata di tipo $0/0$. Il che mi fa venire delle perplessità perchè allora può anche essere visto come $oo/oo$ dato che, dividendo le due funzione come $f(x)=e^((x-1)/(x+1))$ e $g(x)=(x+1)^(-1/2)$, il primo tende a +inf e il secondo anche.Se invece ho avuto un intuizione errata vi prego di correggermi e darmi qualche suggerimento in su come distinguere e manipolare tali forme...
2) Applicando De L' Hopital, e dunque derivando separatamente, continuo ad avere una forma indeterminata che proprio non riesco a evitare. Probabilmente dovrei seguire il metodo che utilizza il mio prof. e cioè quello di semplificare il limite adoperando alcune sostituzioni di variabile ( qui mi sorge un' altra domanda: in genere il cambio di variabile è utile quando ci sono termini che si ripetono? Ad es. in questo limite c'è $x+1$ che lo si trova sia come denominatore dell' esponente, sia sotto radice. Se no quando?), ma mi chiedo: è comunque possibile risolverlo attraverso vie alternative? Io ho provato con lo sviluppo di taylor ed effettivamente mi viene il risultato giusto, cioè $lim_(x->-1^-)f(x)=0$... Però anche qui avevo paura di sbagliare dato che per la perplessità di prima non sapevo se considerare le espressioni come degli infiniti o infinitesimi...
Spero di essere stato chiaro ... Grazie per l' attenzione
Risposte
piccolo particolare : la funzione a sinistra di $-1$ non esiste in quanto nella sua espressione compare una bella $sqrt(1+x)$
si, ho sbagliato, era: $ lim_(x->-1^-)1/(e^((x-1)/((x+1))*(-x-1)^(1/2)) $... (stormy, dato che mi ci hai fatto pensare, ho un altro dubbio: $(-x-1)^(-1/2)$ doveva scriversi così in quanto la funzione originale era $exp((-|x-1|)/(|x|-1))*(|x|-1)^(-1/2)$ e io nella domanda facevo riferimento al caso $x<-1$( come si verifica facendo il dominio della funzione); allora mi chiedo: quando incontro casi del genere non conviene mai portare al di fuori delle parentesi il segno dell' espressione (che era argomento di valori assoluti) perchè, come abbiamo appena visto, potrebbe compromettere la validità della stessa, giusto?
stormy potresti rispondere ai miei dubbi perfavore? Ne ho veramente bisogno... Grazie
ponendo $z=-x-1$ ti riconduci al limite $ lim_(z -> 0^+)1/(sqrtze^((z+2)/z)) $
analizziamo il denominatore : possiamo scriverlo nella forma
$e^((z+2)/z)/((z+2)/z) cdot sqrtz(z+2)/z$
è noto che $ lim_(y-> +infty) e^y/y=+infty $
inoltre,anche $ lim_(z -> 0^+) sqrtz(z+2)/z=+infty $
a te la conclusione
analizziamo il denominatore : possiamo scriverlo nella forma
$e^((z+2)/z)/((z+2)/z) cdot sqrtz(z+2)/z$
è noto che $ lim_(y-> +infty) e^y/y=+infty $
inoltre,anche $ lim_(z -> 0^+) sqrtz(z+2)/z=+infty $
a te la conclusione
Non ho capito perchè hai riscritto il limite in quella forma... Ma comunque io volevo che tu rispondessi a queste domande, dato che già sò che il limite tende a 0:
In questo 2) faccio due domande: la prima si riferisce a quando è utile o meno fare un cambio di variabile ... La seconda è legata a quello che ho chiesto in 1)
grazie molte stormy
"Sciarra":in pratica sto chiedendo se quando cambia segno l' argomento di un valore assoluto è sempre meglio o addirittura d' obbligo lasciarlo li' dove è richiesto ( come nel caso di $(-x-1)^(-1/2)$?
quando incontro casi del genere non conviene mai portare al di fuori delle parentesi il segno dell' espressione (che era argomento di valori assoluti) perchè, come abbiamo appena visto, potrebbe compromettere la validità della stessa, giusto?
"Sciarra":Quello che sto chiedendo, in maniera più breve, è: le funzioni di tipo $1/x$ con $x->0$ posso vederle in due modi? cioè come infiniti: in quanto $1/x->+oo se x->0$ o come infinitesimi dato che $x->0 se x->0$? Questo me lo chiedo perchè come ho appena spiegato il mio prof dice che qui si tratta di una forma $0/0$... Ma in realtà sono due espressio che tendono a valori diversi: $1/(e^(x-1)/(x+1))->0$ mentre $1/(-x-1)^(1/2)->_(x->0)+oo$
Salve a tutti. Cercando di svolgere questo limite $ lim_(x->-1^-)1/(e^((x-1)/(x+1))*(-x-1)^(1/2)) $ mi sono sorte alcune domande :
1) Questo limite quale forma indeterminata ha? cioè a me sembra che venga $ 0*(-oo) $ in quanto $ 1/e^((x-1)/(x+1))->0) $ e $ (-x-1)^(1/2)->+oo $ ; però il mio prof. dice che in realtà si può vedere come una forma indeterminata di tipo $ 0/0 $. Il che mi fa venire delle perplessità perchè allora può anche essere visto come $ oo/oo $ dato che, dividendo le due funzione come $ f(x)=e^((x-1)/(x+1)) $ e $ g(x)=(x+1)^(-1/2) $, il primo tende a +inf e il secondo anche.Se invece ho avuto un intuizione errata vi prego di correggermi e darmi qualche suggerimento in su come distinguere e manipolare tali forme...
"Sciarra":
2) Applicando De L' Hopital, e dunque derivando separatamente, continuo ad avere una forma indeterminata che proprio non riesco a evitare. Probabilmente dovrei seguire il metodo che utilizza il mio prof. e cioè quello di semplificare il limite adoperando alcune sostituzioni di variabile ( qui mi sorge un' altra domanda: in genere il cambio di variabile è utile quando ci sono termini che si ripetono? Ad es. in questo limite c'è $ x+1 $ che lo si trova sia come denominatore dell' esponente, sia sotto radice come $(-(x+1))^(1/2)$. Se no quando?), ma mi chiedo: è comunque possibile risolverlo attraverso vie alternative? Io ho provato con lo sviluppo di taylor ed effettivamente mi viene il risultato giusto, cioè $ lim_(x->-1^-)f(x)=0 $... Però anche qui avevo paura di sbagliare dato che per la perplessità di prima non sapevo se considerare le espressioni come degli infiniti o infinitesimi...
Spero di essere stato chiaro ... Grazie per l' attenzione
In questo 2) faccio due domande: la prima si riferisce a quando è utile o meno fare un cambio di variabile ... La seconda è legata a quello che ho chiesto in 1)
grazie molte stormy
quando si ha a che fare con i valori assoluti è bene valutare i vari casi
ad esempio qui mi sembra opportuno distinguere i casi
1) $x geq0$ per il quale $|x|-1=x-1$
2) $x <0 $ per il quale $|x|-1= -x-1$
in questo modo si vede subito che il dominio è $D=(-infty,-1) cup(1,+infty)$
per quanto riguarda la risoluzione del limite,implicitamente mi sembra di avere risposto : credo che De L'Hopital non porti da nessuna parte e che sia consigliabile un cambio di variabile per semplificare l'espressione
ad esempio qui mi sembra opportuno distinguere i casi
1) $x geq0$ per il quale $|x|-1=x-1$
2) $x <0 $ per il quale $|x|-1= -x-1$
in questo modo si vede subito che il dominio è $D=(-infty,-1) cup(1,+infty)$
per quanto riguarda la risoluzione del limite,implicitamente mi sembra di avere risposto : credo che De L'Hopital non porti da nessuna parte e che sia consigliabile un cambio di variabile per semplificare l'espressione
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