Limite fastidioso
Ragazzi qualcuno ha idea di come possa essere risolto questo limite di successione?
$lim_n n*ln(nsin(1/n))$
Grazie
$lim_n n*ln(nsin(1/n))$
Grazie
Risposte
Limiti notevoli e/o sviluppi di Taylor.
Mi interesserebbe vederlo risolto tramite limiti notevoli.
Ho provato considerare l'ovvio n*sin(1/n) ma non ne sono arrivato a capo.
Ho anche pensato di riportarmi, mediante sostituzioni opportune, al limite notevole $lim_(x->0) log(1+x)/x$ ma nulla!
Puoi darmi una mano ?
Ho provato considerare l'ovvio n*sin(1/n) ma non ne sono arrivato a capo.
Ho anche pensato di riportarmi, mediante sostituzioni opportune, al limite notevole $lim_(x->0) log(1+x)/x$ ma nulla!
Puoi darmi una mano ?
Suggerimento: $n sen(1/n)=(sen(1/n))/(1/n)=1+((sen(1/n))/(1/n)-1)$.
Già provato Luca, ne ho scritto nel post precedente.. Devo essermi perso qualcosa !
!
Il limite notevole che stavi considerando è quello giusto.
Visto che [tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} \to 1$[/tex] (per il limite notevolissimo del seno, [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$[/tex]), è [tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} -1\to 0$[/tex] e perciò per il limite notevole del logaritmo è:
[tex]$\ln (n\ \sin \tfrac{1}{n}) =\ln [1+(n\ \sin \tfrac{1}{n} -1)] \approx n\ \sin \frac{1}{n} -1$[/tex];
d'altra parte lo sviluppo di Taylor del seno ([tex]$\sin y=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \ y^{2k+1}$[/tex]) importa:
[tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \ \frac{1}{n^{2k}} =1-\frac{1}{6} \ \frac{1}{n^2} +\text{o}(\frac{1}{n^3})$[/tex]
quindi:
[tex]$\ln (n\ \sin \tfrac{1}{n}) \approx n\ \sin \tfrac{1}{n} -1 \approx -\frac{1}{6} \ \frac{1}{n^2}$[/tex]...
Ora credo che tu possa concludere da solo.
Visto che [tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} \to 1$[/tex] (per il limite notevolissimo del seno, [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$[/tex]), è [tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} -1\to 0$[/tex] e perciò per il limite notevole del logaritmo è:
[tex]$\ln (n\ \sin \tfrac{1}{n}) =\ln [1+(n\ \sin \tfrac{1}{n} -1)] \approx n\ \sin \frac{1}{n} -1$[/tex];
d'altra parte lo sviluppo di Taylor del seno ([tex]$\sin y=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \ y^{2k+1}$[/tex]) importa:
[tex]$n\ \sin \tfrac{1}{n} =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \ \frac{1}{n^{2k}} =1-\frac{1}{6} \ \frac{1}{n^2} +\text{o}(\frac{1}{n^3})$[/tex]
quindi:
[tex]$\ln (n\ \sin \tfrac{1}{n}) \approx n\ \sin \tfrac{1}{n} -1 \approx -\frac{1}{6} \ \frac{1}{n^2}$[/tex]...
Ora credo che tu possa concludere da solo.
Gugo ti ringrazio! 
)! Sei stato molto gentile e la soluzione mediante Taylor è efficacissima 
! Ma se volessi impiegare i soli limiti notevoli?
Quelle somiglianze, utilizzandole, mi fanno sempre un pò paura !
)! Sei stato molto gentile e la soluzione mediante Taylor è efficacissima ! Ma se volessi impiegare i soli limiti notevoli?Quelle somiglianze, utilizzandole, mi fanno sempre un pò paura
!
Solo col limite notevole non si può risolvere, giacché in un passaggio serve approssimare il seno al terzo ordine.
Invero, se ci fai caso, di solito i limiti notevoli fornoscono approssimazioni al primo ordine (meno il limite del coseno, per ovvie ragioni, quindi non possono essere usati per stabilire, ad esempio, che [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y-y}{y^3} =-\frac{1}{6}$[/tex].
Se non vuoi usare Taylor, come già detto altre volte (ad esempio qui), devi "barare"... Ma è cosa molto lunga da farsi.
Invero, se ci fai caso, di solito i limiti notevoli fornoscono approssimazioni al primo ordine (meno il limite del coseno, per ovvie ragioni, quindi non possono essere usati per stabilire, ad esempio, che [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y-y}{y^3} =-\frac{1}{6}$[/tex].
Se non vuoi usare Taylor, come già detto altre volte (ad esempio qui), devi "barare"... Ma è cosa molto lunga da farsi.
Ti ringrazio, sei stato esauriente ed efficace ! Buona giornata Gugo! 
! Buona giornata Gugo!
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