Limite facilissimo

[lion21]

$ lim_(x -> +oo ) (root(5)(x^(5)-2x ) -root(3)(x^(3)+x ) ) $

E' plausibile che venga 0?
Siccome facendo l'asintotico prima per una radice e poi per l'altra otterrei $lim_(x -> +oo ) (x -x)$

[Relegal]

Mi correggo, ho fatto confusione : Applicato così il metodo del confronto asintotico non funziona. Chiedo scusa a Lion21.

[Luca.Lussardi]

Il confronto non vale per le somme algebriche, per cui applicato come è stato applicato potrebbe anche dare un'informazione errata.

[Paolo902]

Si provi, ad esempio, a calcolare il limite a $+oo$ di [tex]y=\left| x^{3}\left( x-1 \right)^{2} \right|^{\frac{1}{5}}-x[/tex]: si vede ad occhio che entrambe le quantità sono infiniti di ordine 1, tuttavia non si elidono affatto, perchè il limite non è nullo.

[lion21]

E quindi cosa mi cosnigliate di fare?
L'unica cosa che mi viene in mente è quella di moltiplicare numeratore e denominatore(che è uguale a 1) per

$ root(5)(x^5-2x) + root(3)(x^3+x) $

il limite in questo modo diventerebbe $lim_(x -> +oo ) (x^5-2x -x^3+x) / (root(5)(x^5-2x) + root(3)(x^3+x)) $ che evidentemente tende a più infinito.....o no?

[emmeffe90]

Io metterei in evidenza la x all'interno delle radici:$x(root(5)(1-2/x^4) - root(3)(1+1/x^2))$ e poi sfrutterei il limite notevole $((1+x)^alpha-1)/x$, che quando x tende a zero tende ad $alpha$.

[blackbishop13]

"lion21":E quindi cosa mi cosnigliate di fare?
L'unica cosa che mi viene in mente è quella di moltiplicare numeratore e denominatore(che è uguale a 1) per

$ root(5)(x^5-2x) + root(3)(x^3+x) $

il limite in questo modo diventerebbe $lim_(x -> +oo ) (x^5-2x -x^3+x) / (root(5)(x^5-2x) + root(3)(x^3+x)) $ che evidentemente tende a più infinito.....o no?

guarda che la formula che hai applicato vale per l'esponente 2, ovvero $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
non è che vale anche se ci sono radici quinte e terze!
se provi davvero a fare $(root(5)(x^5-2x)-root(3)(x^3+x))*(root(5)(x^5-2x)-root(3)(x^3+x))$ ti viene tutta un'altra cosa.

[SiLv3r1]

"emmeffe90":Io metterei in evidenza la x all'interno delle radici:$x(root(5)(1-2/x^4) - root(3)(1+1/x^2))$ e poi sfrutterei il limite notevole $((1+x)^alpha-1)/x$, che quando x tende a zero tende ad $alpha$.

Questa scrittura va bene ma non per usare quel limite notevole poichè $x->+oo

secondo me può essere risolto così $ lim_(x -> +oo) x(root(5)(1-2/x^4) - root(3)(1+1/x^2)) = +oo (1-1)=+oo * 0 = 0

[blackbishop13]

"SiLv3r":
+infty * 0 = 0

è assolutamente falso e strafalso.
anche solo $lim_(x to +infty) x^2 *(1/x)$ come la metti?? il limite fa $0$ ?

[dotmanu]

Il mio prof. afferma che mentre con le uguaglianze asintotiche possono sorgere problemi (es. somme), le uguaglianze con gli o-piccoli sono sempre utilizzabili.
Come risolvereste questo limite con li metodo degli o-piccoli?


Grazie

[Seneca1]

"SiLv3r":$ lim_(x -> +oo) x(root(5)(1-2/x^4) - root(3)(1+1/x^2)) = +oo (1-1)=+oo * 0 = 0

[Seneca1]

$ lim_(x -> +oo ) (root(5)(x^(5)-2x ) - root(3)(x^(3)+x ) ) $

$ lim_(x -> +oo ) x ( root(5)( 1 - 2/x^4 ) - root(3)(1+ 1/x^2 ) ) $

$ lim_(x -> +oo ) ( root(5)( 1 - 2/x^4 ) - 1 - ( root(3)(1+ 1/x^2 ) - 1) )/(1/x) $

La strada migliore mi sembra questa...

[GIBI1]

$((1-2/x^4)^(1/5)-(1+1/x^2)^(1/3))/(1/x)$ ; posto $ t=1/x$

$((1-2t^4)^(1/5)-(1+t^2)^(1/3))/t \sim ((1-1/5*2t^4+o(t^4))-(1+1/3t^2+o(t^2)))/t \to 0$


SE&O
_____
A me la vita è bene.
Povero Giacomino, forse se si faceva qualche doccia in più cambiava idea.

[Seneca1]

Bah. GIBI, mi ero fermato a quel passaggio perché l'utente risolvesse da solo l'ultima parte...

"GIBI":
A me la vita è bene.
Povero Giacomino, forse se si faceva qualche doccia in più cambiava idea.

Donde questa tua opinione?

[GIBI1]

... non è una mia opinione, è certezza.

Me l'ha confidato una mia amica che conosceva l'amica dell'amica molto vicina a una conoscente di una sua amica toscana che aveva raccolto la testimonianza di una signora che frequentava Leopardi.
Tutto confermato per iscritto dalle lettere di una signora toscana che lo conosceva bene (i toscani in fatto di lingua sparlata non mentono e soprattutto non perdonano).