Limite facile ma....

[emaz92]

Questo limite $lim_(x->2)(x/(x-2)-1/(ln(x)-ln(2)))$ con De L'Hopital viene molto semplice, il risultato è $1/2$, però volevo chiedere per curiosità, visto che ho provato a farlo anche espandendo in serie di Taylor il logaritmo come $lnx=ln(2)+(x-2)/2 + o((x-2))$ e il risultato mi viene 1, come mai?
Facendo i calcoli, trascurando l' "o" piccolo: $lim_(x->2)(x/(x-2)-1/(ln(x)-ln(2)))=lim_(x->2)(x/(x-2)-1/[(x-2)/2])=lim_(x->2)((x-2)/(x-2))=1$, invece dovrebbe venire $1/2$. Dove sbaglio facendolo con Taylor?

[Ziben]

Ciao,
probabilmente l'errore che commetti ($o((x-2))$) nel sostiutire il logaritmo con il suo sviluppo polinomiale non è tale da essere trascurabile. Prova a spingerti oltre con lo sviluppo (penso che sia suffciente l'ordine successivo) e troverai lo stesso risultato.

[emaz92]

"Ziben":Ciao,
probabilmente l'errore che commetti ($o((x-2))$) nel sostiutire il logaritmo con il suo sviluppo polinomiale non è tale da essere trascurabile. Prova a spingerti oltre con lo sviluppo (penso che sia suffciente l'ordine successivo) e troverai lo stesso risultato.

l' avevo pensato anchio.....però strano non mi era mai successo che approssimando con taylor il limite venisse errato

[Ziben]

A me invece è capitato più volte di non spingermi a sufficienza nello sviluppo. Penso, che in questo caso, anche se l'errore va più velocemente a $0$ dell'espressione polinomiale contenuta nella scrittura dell' $o$ piccolo, è perché il termine infinitesimo del primo termine della sottrazione nel limite è proprio $x-2$ che dovrebbe far intuire che lo sviluppo andrebbe esteso. Ma la mia è solo una congettura, non sono così bravo (anzi tutt'altro) da poterlo dimostrare.

[emaz92]

"Ziben":A me invece è capitato più volte di non spingermi a sufficienza nello sviluppo. Penso, che in questo caso, anche se l'errore va più velocemente a $0$ dell'espressione polinomiale contenuta nella scrittura dell' $o$ piccolo, è perché il termine infinitesimo del primo termine della sottrazione nel limite è proprio $x-2$ che dovrebbe far intuire che lo sviluppo andrebbe esteso. Ma la mia è solo una congettura, non sono così bravo (anzi tutt'altro) da poterlo dimostrare.

ti ringrazio comunque della risposta